Terminale

Nombres complexes : module, argument, forme trigonométrique — Exercices d'application

1. Le plan complexe

On considère les points $A(1 + 2i)$ , $B(4 - i)$ et $C(-2 + 3i)$ .

Place ces points dans le plan complexe.
Donne l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et du milieu $I$ de $[BC]$ .
Détermine l’affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Donne les affixes des symétriques de $A$ par rapport à l’axe réel et par rapport à $O$ .

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$A(1\,;\,2)$ , $B(4\,;\,-1)$ , $C(-2\,;\,3)$ .
$z_{\overrightarrow{AB}} = 3 - 3i$ ; $z_I = \dfrac{(4 - i) + (-2 + 3i)}{2} = 1 + i$ .
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ : $z_D - z_A = z_C - z_B = -6 + 4i$ , donc $z_D = -5 + 6i$ .
$\overline{z_A} = 1 - 2i$ ; $-z_A = -1 - 2i$ .

Calcule le module de : $5 - 12i$ ; $-3$ ; $\sqrt3 + i$ ; $(2 - i)(1 + 3i)$ ; $\dfrac{1 + i}{1 - i\sqrt3}$ ; $(1 - i)^{10}$ .
Avec les points de l’exercice 1, calcule $AB$ , $AC$ et $BC$ . Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?

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$13$ ; $3$ ; $2$ ; $|2 - i|\,|1 + 3i| = \sqrt5 \times \sqrt{10} = 5\sqrt2$ ; $\dfrac{\sqrt2}{2}$ ; $(\sqrt2)^{10} = 32$ .
$AB = |3 - 3i| = 3\sqrt2$ ; $AC = |-3 + i| = \sqrt{10}$ ; $BC = |-6 + 4i| = \sqrt{52}$ . $AB^2 + AC^2 = 18 + 10 = 28 \neq 52$ et les autres combinaisons ne marchent pas non plus ( $18 + 52 \neq 10$ , $10 + 52 \neq 18$ ) : il n’est pas rectangle.

Démontre que pour tout $z \neq 0$ , $\left|\dfrac1z\right| = \dfrac{1}{|z|}$ (on utilisera le module d’un produit).
Soit $z = x + iy$ . Montre que $|z + 1|^2 + |z - 1|^2 = 2|z|^2 + 2$ .
En déduire que si $|z| = 1$ , alors $|z + 1|^2 + |z - 1|^2 = 4$ . Interprète géométriquement avec les points $A(-1)$ , $B(1)$ et $M(z)$ .

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$z \times \dfrac1z = 1$ donc $|z| \times \left|\dfrac1z\right| = |1| = 1$ , d’où $\left|\dfrac1z\right| = \dfrac{1}{|z|}$ .
$|z + 1|^2 = (x + 1)^2 + y^2$ et $|z - 1|^2 = (x - 1)^2 + y^2$ ; la somme vaut $2x^2 + 2y^2 + 2 = 2|z|^2 + 2$ .
$2 \times 1 + 2 = 4$ . $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ (centre $O$ , rayon $1$ ) : $MA^2 + MB^2 = AB^2 = 4$ , c’est le théorème de Pythagore dans le triangle $AMB$ rectangle en $M$ .

Parmi les nombres suivants, lesquels appartiennent à $\mathbb{U}$ : $\dfrac{5 + 12i}{13}$ ; $\dfrac{1 + i}{2}$ ; $\dfrac{3 + 4i}{3 - 4i}$ ; $i^{2027}$ ?
Soit $z \in \mathbb{U}$ , $z \neq 1$ . Montre que $\overline{\left(\dfrac{1 + z}{1 - z}\right)} = -\dfrac{1 + z}{1 - z}$ (on utilisera $\bar z = \dfrac1z$ ). Que peut-on en déduire sur ce nombre ?

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$\left|\dfrac{5 + 12i}{13}\right| = \dfrac{13}{13} = 1$ : oui. $\left|\dfrac{1 + i}{2}\right| = \dfrac{\sqrt2}{2}$ : non. $\left|\dfrac{3 + 4i}{3 - 4i}\right| = \dfrac55 = 1$ : oui. $|i^{2027}| = 1$ : oui.
$\overline{\left(\dfrac{1 + z}{1 - z}\right)} = \dfrac{1 + \bar z}{1 - \bar z} = \dfrac{1 + \frac1z}{1 - \frac1z} = \dfrac{z + 1}{z - 1} = -\dfrac{1 + z}{1 - z}$ (on a multiplié par $z$ ). Un nombre égal à l’opposé de son conjugué est imaginaire pur.

Détermine un argument de chaque nombre complexe.

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$\pi$ ; $\dfrac\pi2$ ; $-\dfrac\pi2$ (modulo $2\pi$ ).
$1 - i$ : $r = \sqrt2$ , $\cos\theta = \dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\sin\theta = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ : $-\dfrac\pi4$ . $-1 + i\sqrt3$ : $r = 2$ , $\cos\theta = -\dfrac12$ , $\sin\theta = \dfrac{\sqrt3}{2}$ : $\dfrac{2\pi}{3}$ . $-\sqrt3 - i$ : $r = 2$ , $\cos\theta = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ , $\sin\theta = -\dfrac12$ : $-\dfrac{5\pi}{6}$ .
$\arg(1 + i\sqrt3) = \dfrac\pi3$ , donc $\arg\left(\overline{1 + i\sqrt3}\right) = -\dfrac\pi3$ et $\arg\left(-(1 + i\sqrt3)\right) = \dfrac\pi3 + \pi = \dfrac{4\pi}{3}$ , soit $-\dfrac{2\pi}{3}$ .

Écris sous forme trigonométrique : $z_1 = 3 + 3i$ ; $z_2 = -5i$ ; $z_3 = \sqrt6 - i\sqrt2$ .
Écris sous forme algébrique : $z_4 = 2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$ ; $z_5 = \sqrt2\left(\cos\left(-\dfrac\pi4\right) + i\sin\left(-\dfrac\pi4\right)\right)$ .
Le nombre $z = -3\left(\cos\dfrac\pi5 + i\sin\dfrac\pi5\right)$ est-il écrit sous forme trigonométrique ? Donne son module et un argument.

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$z_1 = 3\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4 + i\sin\dfrac\pi4\right)$ ; $z_2 = 5\left(\cos\left(-\dfrac\pi2\right) + i\sin\left(-\dfrac\pi2\right)\right)$ ; $|z_3| = \sqrt{6 + 2} = 2\sqrt2$ , $\cos\theta = \dfrac{\sqrt6}{2\sqrt2} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ , $\sin\theta = -\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2} = -\dfrac12$ : $z_3 = 2\sqrt2\left(\cos\left(-\dfrac\pi6\right) + i\sin\left(-\dfrac\pi6\right)\right)$ .
$z_4 = 2\left(-\dfrac12 + i\dfrac{\sqrt3}{2}\right) = -1 + i\sqrt3$ ; $z_5 = \sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}{2} - i\dfrac{\sqrt2}{2}\right) = 1 - i$ .
Non, car $-3 < 0$ . $|z| = 3$ et $\arg(z) = \dfrac\pi5 + \pi = \dfrac{6\pi}{5}$ (ou $-\dfrac{4\pi}{5}$ ).

Détermine et représente l’ensemble des points $M(z)$ tels que :

$|z - 3i| = 2$ ;
$|z + 2| = |z - 4|$ ;
$|\bar z + 1 - i| = 3$ ;
$|z - 1| = 2|z + 2|$ (on posera $z = x + iy$ et on reconnaîtra l’équation d’un cercle).

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Cercle de centre $A(3i)$ , de rayon $2$ .
$|z - (-2)| = |z - 4|$ : médiatrice de $[AB]$ avec $A(-2)$ , $B(4)$ : la droite d’équation $x = 1$ .
$|\bar z + 1 - i| = |\overline{z + 1 + i}| = |z + 1 + i| = |z - (-1 - i)|$ : cercle de centre $(-1 - i)$ et de rayon $3$ .
$(x - 1)^2 + y^2 = 4\left((x + 2)^2 + y^2\right) \iff x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4x^2 + 16x + 16 + 4y^2 \iff 3x^2 + 18x + 3y^2 + 15 = 0$ $\iff x^2 + 6x + y^2 + 5 = 0 \iff (x + 3)^2 + y^2 = 4$ . C’est le cercle de centre $(-3\,;\,0)$ et de rayon $2$ .