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Terminale⏱ 1 heure

Nombres complexes : module, argument, forme trigonométrique — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

  1. ∣−6+8i∣|{-6} + 8i| ?
  2. ∣(1+i)4∣|(1 + i)^4| ?
  3. Un argument de −5-5 ?
  4. Un argument de 2+2i2 + 2i ?
  5. Affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB} avec A(2−i)A(2 - i) et B(−1+3i)B(-1 + 3i) ?
  6. Distance ABAB pour ces mêmes points ?
  7. Forme algébrique de 4(cos⁡π2+isin⁡π2)4\left(\cos\dfrac\pi2 + i\sin\dfrac\pi2\right) ?
  8. Si ∣z∣=3|z| = 3, que vaut zzˉz\bar z ?
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  1. 36+64=10\sqrt{36 + 64} = 10.
  2. ∣1+i∣4=(2)4=4|1 + i|^4 = (\sqrt2)^4 = 4.
  3. π\pi.
  4. π4\dfrac\pi4.
  5. zB−zA=−3+4iz_B - z_A = -3 + 4i.
  6. ∣−3+4i∣=5|-3 + 4i| = 5.
  7. 4i4i.
  8. ∣z∣2=9|z|^2 = 9.

Exercice 2 (4 points) — Démonstration de cours

  1. Démontre que pour tout nombre complexe zz, ∣z∣2=zzˉ|z|^2 = z\bar z. (1,5 point)
  2. En déduire que pour tous nombres complexes zz et z′z', ∣zz′∣=∣z∣ ∣z′∣|zz'| = |z|\,|z'|. (2,5 points)
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  1. Avec z=a+ibz = a + ib : zzˉ=(a+ib)(a−ib)=a2−i2b2=a2+b2=∣z∣2z\bar z = (a + ib)(a - ib) = a^2 - i^2b^2 = a^2 + b^2 = |z|^2.
  2. ∣zz′∣2=(zz′)(zz′)‾=zz′zˉ z′‾|zz'|^2 = (zz')\overline{(zz')} = zz'\bar z\,\overline{z'} (conjugué d'un produit) =(zzˉ)(z′z′‾)=∣z∣2∣z′∣2= (z\bar z)(z'\overline{z'}) = |z|^2|z'|^2. Comme ∣zz′∣|zz'| et ∣z∣ ∣z′∣|z|\,|z'| sont des réels positifs de même carré, ils sont égaux : ∣zz′∣=∣z∣ ∣z′∣|zz'| = |z|\,|z'|.

Exercice 3 (5 points) — Formes trigonométriques

On pose z1=−1+iz_1 = -1 + i et z2=3+iz_2 = \sqrt3 + i.

  1. Donne le module et un argument de z1z_1 et de z2z_2 ; écris-les sous forme trigonométrique. (3 points)
  2. Calcule le module de z1 3z2 2z_1^{\,3} z_2^{\,2} sans développer. (1 point)
  3. Donne un argument de z2‾\overline{z_2} et de −z1-z_1. (1 point)
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  1. ∣z1∣=2|z_1| = \sqrt2 ; cos⁡θ1=−22\cos\theta_1 = -\dfrac{\sqrt2}{2}, sin⁡θ1=22\sin\theta_1 = \dfrac{\sqrt2}{2} : θ1=3π4\theta_1 = \dfrac{3\pi}{4} ; z1=2(cos⁡3π4+isin⁡3π4)z_1 = \sqrt2\left(\cos\dfrac{3\pi}{4} + i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right). ∣z2∣=2|z_2| = 2 ; cos⁡θ2=32\cos\theta_2 = \dfrac{\sqrt3}{2}, sin⁡θ2=12\sin\theta_2 = \dfrac12 : θ2=π6\theta_2 = \dfrac\pi6 ; z2=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z_2 = 2\left(\cos\dfrac\pi6 + i\sin\dfrac\pi6\right).
  2. ∣z1 3z2 2∣=∣z1∣3∣z2∣2=22×4=82|z_1^{\,3}z_2^{\,2}| = |z_1|^3|z_2|^2 = 2\sqrt2 \times 4 = 8\sqrt2.
  3. arg⁡(z2‾)=−π6\arg(\overline{z_2}) = -\dfrac\pi6 ; arg⁡(−z1)=3π4+π=7π4\arg(-z_1) = \dfrac{3\pi}{4} + \pi = \dfrac{7\pi}{4}, soit −π4 [2π]-\dfrac\pi4\ [2\pi].

Exercice 4 (7 points) — Géométrie

On considère les points A(1+3i)A(1 + 3i), B(−2)B(-2) et C(4)C(4).

  1. Calcule ABAB, ACAC et BCBC. Quelle est la nature du triangle ABCABC ? (3 points)
  2. Détermine l'affixe du centre Ω\Omega du cercle circonscrit au triangle ABCABC et son rayon. (2 points)
  3. Détermine l'ensemble des points M(z)M(z) tels que ∣z−1−3i∣=∣z+2∣|z - 1 - 3i| = |z + 2|. Le point CC appartient-il à cet ensemble ? (2 points)
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  1. AB=∣−3−3i∣=32AB = |-3 - 3i| = 3\sqrt2 ; AC=∣3−3i∣=32AC = |3 - 3i| = 3\sqrt2 ; BC=∣6∣=6BC = |6| = 6. AB=ACAB = AC et AB2+AC2=18+18=36=BC2AB^2 + AC^2 = 18 + 18 = 36 = BC^2 : le triangle est rectangle isocèle en AA.
  2. Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse [BC][BC] : zΩ=−2+42=1z_\Omega = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1 ; rayon BC2=3\dfrac{BC}{2} = 3.
  3. ∣z−(1+3i)∣=∣z−(−2)∣|z - (1 + 3i)| = |z - (-2)| : AM=BMAM = BM, c'est la médiatrice de [AB][AB]. CA=32≈4,24CA = 3\sqrt2 \approx 4{,}24 et CB=6CB = 6 : CC n'appartient pas à cet ensemble.