Terminale

Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique — Exercices d'application

1. Loi uniforme discrète

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Exercice 1 — ⭐

On tire au hasard un numéro entre $1$ et $20$ . Quelle est l’espérance du numéro tiré ?
Un jeu consiste à lancer un dé à $12$ faces ; on gagne le numéro obtenu en euros, mais la partie coûte $6$ €. Le jeu est-il favorable au joueur ?

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$E(X) = \dfrac{20 + 1}{2} = 10{,}5$ .
Gain moyen : $\dfrac{12 + 1}{2} - 6 = 0{,}5$ € par partie : le jeu est (légèrement) favorable au joueur.

2. Loi de Bernoulli

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Exercice 2 — ⭐

Dans une population, $12\,\%$ des personnes sont gauchères. On choisit une personne au hasard ; $X$ vaut $1$ si elle est gauchère, $0$ sinon.

Quelle est la loi de $X$ ?
Calcule $E(X)$ et $\sigma(X)$ (arrondi au centième).
Pour quelle valeur de $p$ l’écart type d’une loi de Bernoulli est-il maximal ?

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Bernoulli de paramètre $0{,}12$ .
$E(X) = 0{,}12$ ; $\sigma(X) = \sqrt{0{,}12 \times 0{,}88} \approx 0{,}32$ .
$p(1 - p) = -p^2 + p$ est maximal pour $p = \dfrac12$ (sommet de la parabole) : $\sigma = \dfrac12$ .

3. Schéma de Bernoulli et coefficients binomiaux

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Exercice 3 — ⭐⭐

Complète la ligne $n = 6$ du triangle de Pascal.
Vérifie avec cette ligne la symétrie $\dbinom6k = \dbinom6{6-k}$ , puis calcule la somme des coefficients de la ligne. Que remarques-tu ?
Combien de chemins comportent exactement $2$ succès dans un arbre de $6$ épreuves ? Et au moins $5$ succès ?

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$1$ , $6$ , $15$ , $20$ , $15$ , $6$ , $1$ .
La ligne se lit de la même façon dans les deux sens. Somme : $64 = 2^6$ (c’est le nombre total de chemins).
$\dbinom62 = 15$ ; au moins $5$ succès : $\dbinom65 + \dbinom66 = 6 + 1 = 7$ .

4. Loi binomiale

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Exercice 4 — ⭐⭐

Un vaccin est efficace chez $90\,\%$ des personnes vaccinées. On considère un groupe de $20$ personnes vaccinées, en admettant que les réponses au vaccin sont indépendantes. On note $X$ le nombre de personnes chez qui le vaccin est efficace.

Justifie que $X$ suit une loi binomiale ; précise ses paramètres.
Calcule $P(X = 20)$ , $P(X = 18)$ et $P(X \geqslant 18)$ (arrondis au millième).
Calcule $E(X)$ et $\sigma(X)$ .

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$20$ épreuves de Bernoulli identiques (succès : « efficace », $p = 0{,}9$ ) et indépendantes : $X$ suit $\mathcal B(20\,;\,0{,}9)$ .
$P(X = 20) = 0{,}9^{20} \approx 0{,}122$ ; $P(X = 18) = \dbinom{20}{18}0{,}9^{18}0{,}1^2 \approx 0{,}285$ ; $P(X \geqslant 18) \approx 0{,}677$ .
$E(X) = 18$ ; $\sigma(X) = \sqrt{20 \times 0{,}9 \times 0{,}1} = \sqrt{1{,}8} \approx 1{,}34$ .

Exercice 5 — ⭐⭐⭐

Une pièce est-elle truquée ? On lance $100$ fois une pièce supposée équilibrée ; $X$ est le nombre de « pile ».

Quelle est la loi de $X$ sous l’hypothèse « la pièce est équilibrée » ?
À la calculatrice ou en Python, détermine le plus petit entier $a$ tel que $P(X \leqslant a) > 0{,}025$ et le plus petit entier $b$ tel que $P(X \leqslant b) \geqslant 0{,}975$ .
On obtient $63$ « pile ». Que peut-on en penser ?

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$\mathcal B(100\,;\,0{,}5)$ .
$a = 40$ et $b = 60$ : $P(40 \leqslant X \leqslant 60) \approx 0{,}965 \geqslant 0{,}95$ .
$63$ est en dehors de l’intervalle $[40\,;\,60]$ : on rejette l’hypothèse que la pièce est équilibrée, au seuil de $5\,\%$ (avec un risque d’environ $5\,\%$ de se tromper).

5. Loi géométrique

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Exercice 6 — ⭐⭐

Un standard téléphonique répond à chaque appel avec la probabilité $0{,}2$ , indépendamment des appels précédents. Léo appelle jusqu’à obtenir une réponse ; $X$ est le numéro de l’appel où il obtient une réponse.

Quelle est la loi de $X$ ? Calcule $P(X = 1)$ , $P(X = 3)$ et $P(X > 5)$ .
Combien d’appels Léo doit-il prévoir en moyenne ?
Léo a déjà appelé $5$ fois sans succès. Quelle est la probabilité qu’il doive encore appeler plus de $2$ fois ?

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Loi géométrique de paramètre $0{,}2$ . $P(X = 1) = 0{,}2$ ; $P(X = 3) = 0{,}8^2 \times 0{,}2 = 0{,}128$ ; $P(X > 5) = 0{,}8^5 \approx 0{,}328$ .
$E(X) = \dfrac{1}{0{,}2} = 5$ appels.
Absence de mémoire : $P_{(X > 5)}(X > 7) = P(X > 2) = 0{,}8^2 = 0{,}64$ .

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Simulation. On veut vérifier par simulation que l’espérance d’une loi géométrique de paramètre $p$ vaut $\dfrac1p$ .

Écris une fonction Python premier_succes(p) qui simule des épreuves de Bernoulli jusqu’au premier succès et renvoie le rang de ce succès.
Écris une fonction qui calcule la moyenne de $10\,000$ simulations et teste-la pour $p = 0{,}25$ .

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from random import random

def premier_succes(p):
    rang = 1
    while random() >= p:
        rang += 1
    return rang

def moyenne(p, n):
    return sum(premier_succes(p) for k in range(n)) / n

print(moyenne(0.25, 10000))   # proche de 4

On obtient une valeur proche de $4 = \dfrac{1}{0{,}25}$ (elle varie légèrement d’une exécution à l’autre).