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Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

Espérance de la loi uniforme sur $\{1, \dots, 9\}$ ?
Espérance d'une loi de Bernoulli de paramètre $0{,}3$ ?
$\dbinom51$ ?
$\dbinom42$ ?
$X$ suit $\mathcal B(50\,;\,0{,}2)$ : $E(X)$ ?
$X$ suit $\mathcal B(3\,;\,0{,}5)$ : $P(X = 3)$ ?
$X$ suit la loi géométrique de paramètre $0{,}1$ : $E(X)$ ?
Même loi : $P(X > 2)$ ?

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$\dfrac{9 + 1}{2} = 5$ .
$0{,}3$ .
$5$ .
$6$ .
$50 \times 0{,}2 = 10$ .
$0{,}5^3 = 0{,}125$ .
$\dfrac{1}{0{,}1} = 10$ .
$0{,}9^2 = 0{,}81$ .

Exercice 2 (4 points) — Démonstrations

Démontre que l'espérance d'une variable de Bernoulli de paramètre $p$ vaut $p$ et que son écart type vaut $\sqrt{p(1 - p)}$ . (2 points)
Soit $X$ de loi géométrique de paramètre $p$ . Justifie que $P(X > k) = (1 - p)^k$ , puis démontre que $P_{(X > k)}(X > k + m) = P(X > m)$ . (2 points)

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$E(X) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p$ . $V(X) = (0 - p)^2(1 - p) + (1 - p)^2p = p(1 - p)\big(p + (1 - p)\big) = p(1 - p)$ , d'où $\sigma(X) = \sqrt{p(1 - p)}$ .
$X > k$ signifie que les $k$ premières épreuves (indépendantes) sont des échecs : $P(X > k) = (1 - p)^k$ . Comme l'événement $\{X > k + m\}$ est inclus dans $\{X > k\}$ : $P_{(X > k)}(X > k + m) = \dfrac{P(X > k + m)}{P(X > k)} = \dfrac{(1 - p)^{k+m}}{(1 - p)^k} = (1 - p)^m = P(X > m)$ .

Exercice 3 (7 points) — Contrôle qualité

Une usine produit des ampoules ; $4\,\%$ sont défectueuses. On prélève au hasard $50$ ampoules (la production est assez grande pour assimiler ce prélèvement à des tirages avec remise). $X$ est le nombre d'ampoules défectueuses.

Justifie que $X$ suit une loi binomiale dont tu préciseras les paramètres. (1,5 point)
Calcule $P(X = 0)$ et $P(X \leqslant 2)$ (arrondis au millième). (2 points)
Calcule $E(X)$ et interprète. (1,5 point)
Le client refuse le lot s'il trouve au moins $5$ ampoules défectueuses. Calcule la probabilité que le lot soit refusé. (2 points)

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On répète $50$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (succès : « défectueuse », $p = 0{,}04$ ) : $X$ suit $\mathcal B(50\,;\,0{,}04)$ .
$P(X = 0) = 0{,}96^{50} \approx 0{,}130$ ; $P(X \leqslant 2) \approx 0{,}677$ .
$E(X) = 50 \times 0{,}04 = 2$ : en moyenne, $2$ ampoules défectueuses par prélèvement de $50$ .
$P(X \geqslant 5) = 1 - P(X \leqslant 4) \approx 0{,}049$ : environ $5\,\%$ des lots sont refusés.

Exercice 4 (5 points) — Pêche à la ligne

Un pêcheur attrape un poisson à chaque lancer avec la probabilité $0{,}15$ , indépendamment des autres lancers. $N$ est le rang du premier lancer fructueux.

Quelle est la loi de $N$ ? (1 point)
Calcule $P(N = 4)$ et $P(N \leqslant 3)$ (arrondis au millième). (2 points)
Combien de lancers faut-il prévoir en moyenne ? (1 point)
À partir de combien de lancers la probabilité d'avoir attrapé au moins un poisson dépasse-t-elle $0{,}9$ ? (1 point)

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Loi géométrique de paramètre $0{,}15$ .
$P(N = 4) = 0{,}85^3 \times 0{,}15 \approx 0{,}092$ ; $P(N \leqslant 3) = 1 - P(N > 3) = 1 - 0{,}85^3 \approx 0{,}386$ .
$E(N) = \dfrac{1}{0{,}15} \approx 6{,}7$ lancers.
$P(N \leqslant n) = 1 - 0{,}85^n > 0{,}9 \iff 0{,}85^n < 0{,}1 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}85} \approx 14{,}2$ : à partir de $15$ lancers.