Lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique

Ce que tu sais déjà. En Première, tu as étudié les variables aléatoires, leur espérance et leur variance, ainsi que la répétition d’épreuves indépendantes (Première — Variables aléatoires, Première — Probabilités conditionnelles et indépendance). On étudie ici des lois de référence qui modélisent un grand nombre de situations. Thèmes d’étude associés : « Répétition d’expériences indépendantes, échantillonnage », « Temps d’attente ».

1. Loi uniforme discrète

Définition. Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $\{1, 2, \dots, n\}$ si elle prend chacune de ces valeurs avec la même probabilité $\dfrac1n$ (lancer d’un dé équilibré, tirage d’un numéro au hasard).

Propriété. $E(X) = \dfrac{n + 1}{2}$.

Exemple. Pour un dé à $6$ faces : $E(X) = 3{,}5$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Loi de Bernoulli

Définition. Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ a deux issues : succès (probabilité $p$) et échec ($1 - p$). La variable $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon suit la loi de Bernoulli $\mathcal B(p)$.

Propriété. $E(X) = p$, $V(X) = p(1 - p)$ et $\sigma(X) = \sqrt{p(1 - p)}$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Schéma de Bernoulli et coefficients binomiaux

Définition. Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli de paramètre $p$, identiques et indépendantes. On le représente par un arbre à $n$ niveaux.

Coefficients binomiaux. Le nombre de chemins de l’arbre qui comportent exactement $k$ succès est noté $\dbinom nk$ (« $k$ parmi $n$ »).

• $\dbinom n0 = \dbinom nn = 1$ ; $\dbinom n1 = n$ ;
• symétrie : $\dbinom nk = \dbinom n{n-k}$ ;
• relation de Pascal : $\dbinom nk + \dbinom n{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$, qui permet de construire le triangle de Pascal.

Pourquoi la relation de Pascal ? Un chemin de $n + 1$ épreuves avec $k + 1$ succès se termine soit par un succès (et les $n$ premières épreuves comptent $k$ succès), soit par un échec (et les $n$ premières en comptent $k + 1$).

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Loi binomiale

Théorème. Le nombre $X$ de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ suit la loi binomiale $\mathcal B(n\,;\,p)$ : pour $k = 0, 1, \dots, n$, $$P(X = k) = \binom nk p^k(1 - p)^{n - k}.$$ Justification. Chaque chemin à $k$ succès a pour probabilité $p^k(1 - p)^{n-k}$, et il y en a $\dbinom nk$.

Espérance et écart type (admis). $E(X) = np$ et $\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$.

Exemple. Un QCM de $10$ questions a $4$ réponses possibles dont une seule juste. Un élève répond au hasard : le nombre $X$ de bonnes réponses suit $\mathcal B(10\,;\,0{,}25)$. $P(X = 3) = \dbinom{10}{3}0{,}25^3 \times 0{,}75^7 \approx 0{,}250$ ; $P(X \geqslant 5) \approx 0{,}078$ (calculatrice) ; $E(X) = 2{,}5$.

Calculs à la calculatrice ou en Python. On utilise $P(X = k)$ (« binomFdp ») et $P(X \leqslant k)$ (« binomFRép »).

from math import comb

def binom(n, p, k):
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

print(round(binom(10, 0.25, 3), 4))                              # 0.2503
print(round(sum(binom(10, 0.25, k) for k in range(5, 11)), 4))   # 0.0781

Intervalle de fluctuation. On cherche un intervalle $I = [a\,;\,b]$ tel que $P(X \in I) \geqslant 0{,}95$ : si l’on observe une valeur hors de $I$, on peut mettre en doute le modèle (par exemple l’hypothèse « la pièce est équilibrée »).

→ S’entraîner : Exercice 4 · Exercice 5

5. Loi géométrique

Définition. On répète une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ ($0 < p < 1$), de façon indépendante, jusqu’au premier succès. Le rang $X$ du premier succès suit la loi géométrique de paramètre $p$ : pour tout entier $k \geqslant 1$, $$P(X = k) = (1 - p)^{k-1}p.$$ Justification. $X = k$ signifie : $k - 1$ échecs puis un succès.

Propriétés.

• $P(X > k) = (1 - p)^k$ (les $k$ premières épreuves sont des échecs).
• $E(X) = \dfrac1p$ (admis) : on attend en moyenne $\dfrac1p$ essais.
• Absence de mémoire : pour tous entiers $k$ et $m$, $P_{(X > k)}(X > k + m) = P(X > m)$. Avoir déjà échoué $k$ fois ne rend pas le succès plus proche.

Exemple. On lance un dé jusqu’à obtenir un $6$. $P(X = 3) = \left(\dfrac56\right)^2 \times \dfrac16 = \dfrac{25}{216} \approx 0{,}116$ ; $E(X) = 6$. Après $10$ lancers sans $6$, la probabilité d’attendre encore plus de $2$ lancers est $P(X > 2) = \left(\dfrac56\right)^2 \approx 0{,}69$, comme au début.

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

À retenir.

• Uniforme sur $\{1, \dots, n\}$ : $E = \dfrac{n + 1}{2}$. Bernoulli : $E = p$, $\sigma = \sqrt{p(1 - p)}$.
• $\dbinom nk$ : nombre de chemins à $k$ succès ; triangle de Pascal ; symétrie.
• Binomiale : $P(X = k) = \dbinom nk p^k(1 - p)^{n-k}$, $E = np$, $\sigma = \sqrt{np(1 - p)}$.
• Géométrique : $P(X = k) = (1 - p)^{k-1}p$, $P(X > k) = (1 - p)^k$, $E = \dfrac1p$, absence de mémoire.