Terminale

Limites, continuité et équations f(x) = k — Exercices d'application

1. Limites et asymptotes

Exercice 1 — ⭐

Une fonction $f$ définie sur $]-\infty\,;\,2[\, \cup \,]2\,;\,+\infty[$ vérifie : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1$ , $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ , $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ , $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1$ .

Quelles asymptotes la courbe de $f$ admet-elle ?
Trace une courbe possible pour $f$ .

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Asymptote horizontale $y = -1$ (en $-\infty$ et en $+\infty$ ) ; asymptote verticale $x = 2$ .
Par exemple une courbe qui part de $y = -1$ à gauche, plonge vers $-\infty$ en s’approchant de $x = 2$ , puis revient de $+\infty$ juste après $2$ et redescend vers $y = -1$ (comme la courbe de $x \mapsto -1 + \dfrac{1}{x - 2}$ ).

2. Calculer des limites

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Exercice 2 — ⭐⭐

Détermine les limites suivantes.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(2x^2 - 7x + 3)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(-x^3 + 4x)$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{3x - 5}{x + 2}$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2 + 1}{2x}$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(3 - e^{-x})$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(x + e^x)$
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\left(\frac1x + x^2\right)$

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$2x^2\left(1 - \dfrac{7}{2x} + \dfrac{3}{2x^2}\right) \to +\infty$ ; $-x^3\left(1 - \dfrac{4}{x^2}\right) \to +\infty$ (car $-x^3 \to +\infty$ en $-\infty$ ).
$\dfrac{3 - \frac5x}{1 + \frac2x} \to 3$ ; $\dfrac{x^2 + 1}{2x} = \dfrac x2 + \dfrac{1}{2x} \to +\infty$ .
$e^{-x} \to 0$ donc $3 - e^{-x} \to 3$ ; $x \to -\infty$ et $e^x \to 0$ : $-\infty$ .
$\dfrac1x \to +\infty$ et $x^2 \to 0$ : $+\infty$ .

Exercice 3 — ⭐⭐⭐

Soit $g(x) = \dfrac{x + 3}{x - 2}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ .

Détermine les limites de $g$ en $-\infty$ , en $+\infty$ , en $2^-$ et en $2^+$ .
Interprète graphiquement.
Calcule $g'(x)$ et dresse le tableau de variations de $g$ .

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En $\pm\infty$ : $\dfrac{1 + \frac3x}{1 - \frac2x} \to 1$ . En $2$ : numérateur $\to 5 > 0$ ; dénominateur $\to 0^-$ si $x < 2$ , $0^+$ si $x > 2$ . Donc $\displaystyle\lim_{2^-} g = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{2^+} g = +\infty$ .
Asymptotes : $y = 1$ et $x = 2$ .
$g'(x) = \dfrac{1 \times (x - 2) - (x + 3) \times 1}{(x - 2)^2} = \dfrac{-5}{(x - 2)^2} < 0$ : $g$ décroît sur $]-\infty\,;\,2[$ (de $1$ à $-\infty$ ) et sur $]2\,;\,+\infty[$ (de $+\infty$ à $1$ ).

3. Continuité

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Exercice 4 — ⭐

Un parking coûte $2$ € par heure commencée. Représente le prix en fonction de la durée sur $[0\,;\,4]$ . Cette fonction est-elle continue ?
La fonction $h$ définie par $h(x) = x + 1$ si $x < 1$ et $h(x) = 3 - x$ si $x \geqslant 1$ est-elle continue en $1$ ?
Pour quelle valeur de $c$ la fonction $k$ définie par $k(x) = x^2$ si $x \leqslant 2$ et $k(x) = x + c$ si $x > 2$ est-elle continue ?

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Fonction « en escalier » ( $2$ € sur $]0\,;\,1]$ , $4$ € sur $]1\,;\,2]$ …) : elle fait des sauts, elle n’est pas continue.
À gauche, $x + 1 \to 2$ ; en $1$ et à droite, $3 - x \to 2$ : les morceaux se raccordent, $h$ est continue en $1$ .
Il faut que $x + c$ tende vers $2^2 = 4$ quand $x \to 2$ : $2 + c = 4$ , $c = 2$ .

4. Théorème des valeurs intermédiaires

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Exercice 5 — ⭐⭐

Soit $f(x) = e^x + x$ sur $\mathbb{R}$ .

Justifie que $f$ est strictement croissante et détermine ses limites en $-\infty$ et en $+\infty$ .
Montre que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ , puis que $\alpha \in [-1\,;\,0]$ .
Combien de solutions a l’équation $f(x) = 5$ ?

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$f'(x) = e^x + 1 > 0$ . En $-\infty$ : $e^x \to 0$ et $x \to -\infty$ , donc $f \to -\infty$ . En $+\infty$ : $f \to +\infty$ .
$f$ est continue, strictement croissante, et passe de $-\infty$ à $+\infty$ : elle prend une seule fois la valeur $0$ . De plus $f(-1) = e^{-1} - 1 < 0$ et $f(0) = 1 > 0$ : $\alpha \in [-1\,;\,0]$ .
Pour la même raison, une seule solution.

5. Approcher une solution : balayage et dichotomie

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Exercice 6 — ⭐⭐

On reprend $f(x) = e^x + x$ et la solution $\alpha$ de $f(x) = 0$ .

Par balayage au pas de $0{,}1$ sur $[-1\,;\,0]$ , encadre $\alpha$ à $0{,}1$ près.
Utilise la fonction dichotomie du cours pour obtenir un encadrement d’amplitude $10^{-3}$ .
Combien d’étapes de dichotomie faut-il, en partant de $[-1\,;\,0]$ , pour atteindre une amplitude inférieure à $10^{-6}$ ?

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$f(-0{,}6) \approx -0{,}051 < 0$ et $f(-0{,}5) \approx 0{,}107 > 0$ : $-0{,}6 < \alpha < -0{,}5$ .
dichotomie(lambda x: math.exp(x) + x, 0, -1, 0, 0.001) donne environ $(-0{,}5674\,;\,-0{,}5664)$ ; $\alpha \approx -0{,}567$ .
Après $n$ étapes, l’amplitude vaut $\dfrac{1}{2^n}$ . Il faut $2^n > 10^6$ : $2^{20} = 1\,048\,576$ , donc $20$ étapes.

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Optimisation d’une boîte. Le volume d’une boîte en fonction de la hauteur $x$ (en dm) est $V(x) = x(6 - 2x)^2$ pour $0 \leqslant x \leqslant 3$ .

Calcule $V'(x)$ et montre que $V'(x) = 12(x - 1)(x - 3)$ .
Dresse le tableau de variations de $V$ sur $[0\,;\,3]$ .
Montre que l’équation $V(x) = 10$ a exactement deux solutions dans $[0\,;\,3]$ et donne un encadrement de chacune à $0{,}01$ près.

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$V(x) = 4x^3 - 24x^2 + 36x$ , $V'(x) = 12x^2 - 48x + 36 = 12(x^2 - 4x + 3) = 12(x - 1)(x - 3)$ .
$V'$ est positive sur $[0\,;\,1]$ et négative sur $[1\,;\,3]$ : $V$ croît de $V(0) = 0$ à $V(1) = 16$ , puis décroît jusqu’à $V(3) = 0$ .
Sur $[0\,;\,1]$ , $V$ est continue strictement croissante de $0$ à $16$ : une solution ; sur $[1\,;\,3]$ , continue strictement décroissante de $16$ à $0$ : une solution. Par balayage : $0{,}35 < x_1 < 0{,}36$ et $1{,}83 < x_2 < 1{,}84$ .