Limites, continuité et équations f(x) = k

Ce que tu sais déjà. En Première, tu as étudié les variations des fonctions avec la dérivée et la fonction exponentielle (Première — Dérivation et variations, Première — Fonction exponentielle). Il s’agit maintenant de décrire le comportement d’une fonction « aux bords » de son ensemble de définition et de résoudre des équations qu’on ne sait pas résoudre par le calcul. Thème d’étude associé : « Modèles définis par une fonction d’une variable ».

1. Limites et asymptotes

Limite en l’infini.

• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ : $f(x)$ devient aussi proche de $\ell$ que l’on veut pour $x$ assez grand. La droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$.
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ : $f(x)$ devient aussi grand que l’on veut pour $x$ assez grand.

Limite infinie en un réel. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ (ou $-\infty$) : $f(x)$ devient aussi grand (ou aussi « négatif ») que l’on veut quand $x$ est assez proche de $a$. La droite $x = a$ est asymptote verticale. On précise souvent le côté : $x \to a^+$ ($x > a$) ou $x \to a^-$ ($x < a$).

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Calculer des limites

Fonctions de référence.

Opérations. On combine les limites « comme on s’y attend » : si $f \to 3$ et $g \to +\infty$, alors $f + g \to +\infty$, $fg \to +\infty$, $\dfrac fg \to 0$. Certaines situations sont des formes indéterminées (« $+\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\dfrac\infty\infty$ », « $\dfrac00$ ») : il faut alors transformer l’expression.

Croissance comparée (admise). $\dfrac{e^x}{x} \to +\infty$ et $xe^{-x} \to 0$ en $+\infty$ : l’exponentielle l’emporte sur les puissances.

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. Continuité

Définition (intuitive). Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe se trace sans lever le crayon sur cet intervalle.

Propriétés (admises).

• Les fonctions polynômes, rationnelles (sur leur ensemble de définition), racine carrée, exponentielle, logarithme, ainsi que leurs sommes, produits, quotients et composées, sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.
• Une fonction dérivable sur un intervalle y est continue.

Contre-exemple. Un tarif postal « par tranches » (1,50 € jusqu’à 20 g, 3 € jusqu’à 100 g…) n’est pas continu : sa courbe fait des sauts.

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème (admis). Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;\,b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$.

Cas strictement monotone. Si, de plus, $f$ est strictement monotone sur $[a\,;\,b]$, cette solution est unique.

Réciproque d’une fonction continue strictement monotone. Si $f$ est continue et strictement croissante de $I$ sur $J$, chaque $y$ de $J$ a un unique antécédent $x$ : on définit la fonction réciproque $y \mapsto x$. C’est ainsi que l’on définira la fonction logarithme comme réciproque de l’exponentielle.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Approcher une solution : balayage et dichotomie

Balayage. On calcule $f$ en des points régulièrement espacés et on repère un changement de « côté » par rapport à $k$.

Dichotomie. Si $f(a) < k < f(b)$ (avec $f$ continue et strictement croissante) : on calcule $f$ au milieu $m$ de $[a\,;\,b]$ ; si $f(m) < k$, la solution est dans $[m\,;\,b]$, sinon dans $[a\,;\,m]$. À chaque étape, l’amplitude de l’intervalle est divisée par $2$.

def dichotomie(f, k, a, b, precision):
    """Encadre la solution de f(x) = k sur [a ; b] (f croissante)."""
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if f(m) < k:
            a = m
        else:
            b = m
    return a, b

print(dichotomie(lambda x: x**3 - 3*x, 1, 1, 2, 0.001))   # (1.87890625, 1.8798828125)

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

À retenir.

• Limite finie en $\pm\infty$ : asymptote horizontale ; limite infinie en $a$ : asymptote verticale $x = a$.
• Polynôme ou quotient en l’infini : factoriser par le terme de plus haut degré ; $e^x$ l’emporte sur $x^n$.
• Continue = tracé sans lever le crayon ; dérivable $\Rightarrow$ continue.
• TVI : $f$ continue, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ au moins une solution ; unique si $f$ strictement monotone.
• Balayage, dichotomie : encadrements de plus en plus fins.