Aller au contenu principal
Terminale⏱ 1 heure

Limites, continuité et équations f(x) = k — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

  1. lim⁡x→+∞e−x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x} ?
  2. lim⁡x→−∞x3\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3 ?
  3. lim⁡x→0−1x\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac1x ?
  4. lim⁡x→+∞5x+12x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{5x + 1}{2x} ?
  5. Si lim⁡x→+∞f(x)=4\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4, quelle asymptote la courbe admet-elle ?
  6. Dérive x↦ex−2xx \mapsto e^x - 2x.
  7. Une fonction dérivable sur [0 ; 1][0\,;\,1] est-elle continue sur cet intervalle ?
  8. Après 33 étapes de dichotomie sur [0 ; 1][0\,;\,1], quelle est l'amplitude de l'intervalle ?
Voir le corrigé
  1. 00.
  2. −∞-\infty.
  3. −∞-\infty.
  4. 52\dfrac52.
  5. La droite y=4y = 4 (asymptote horizontale en +∞+\infty).
  6. ex−2e^x - 2.
  7. Oui.
  8. 18\dfrac18.

Exercice 2 (6 points) — Asymptotes

Soit f(x)=4x−2x+1f(x) = \dfrac{4x - 2}{x + 1} définie sur ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[.

  1. Détermine la limite de ff en +∞+\infty. Interprète. (2 points)
  2. Détermine la limite de ff en −1-1 (à droite). Interprète. (2 points)
  3. Montre que f′(x)=6(x+1)2f'(x) = \dfrac{6}{(x + 1)^2} et donne le sens de variation de ff. (2 points)
Voir le corrigé
  1. f(x)=4−2x1+1x→4f(x) = \dfrac{4 - \frac2x}{1 + \frac1x} \to 4 : la droite y=4y = 4 est asymptote horizontale en +∞+\infty.
  2. En −1+-1^+ : 4x−2→−64x - 2 \to -6 et x+1→0+x + 1 \to 0^+, donc f(x)→−∞f(x) \to -\infty : la droite x=−1x = -1 est asymptote verticale.
  3. f′(x)=4(x+1)−(4x−2)(x+1)2=6(x+1)2>0f'(x) = \dfrac{4(x + 1) - (4x - 2)}{(x + 1)^2} = \dfrac{6}{(x + 1)^2} > 0 : ff est strictement croissante sur ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[.

Exercice 3 (10 points) — Refroidissement et équation

La température (en °C) d'un gâteau sorti du four est modélisée par T(t)=20+160e−0,1tT(t) = 20 + 160e^{-0{,}1t}, où tt est le temps en minutes.

  1. Calcule T(0)T(0). Interprète. (1 point)
  2. Détermine la limite de TT en +∞+\infty. Interprète. (2 points)
  3. Calcule T′(t)T'(t) et étudie le sens de variation de TT sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[. (2 points)
  4. Montre que l'équation T(t)=50T(t) = 50 admet une unique solution t0t_0 sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[. (2 points)
  5. Par balayage à la calculatrice, donne un encadrement de t0t_0 d'amplitude 11, puis d'amplitude 0,10{,}1. Interprète. (2 points)
  6. Combien d'étapes de dichotomie faudrait-il, en partant de [0 ; 30][0\,;\,30], pour obtenir un encadrement d'amplitude inférieure à 0,010{,}01 ? (1 point)
Voir le corrigé
  1. T(0)=20+160=180T(0) = 20 + 160 = 180 : le gâteau sort du four à 180180 °C.
  2. e−0,1t→0e^{-0{,}1t} \to 0 donc T(t)→20T(t) \to 20 : la température tend vers celle de la pièce, 2020 °C.
  3. T′(t)=160×(−0,1)e−0,1t=−16e−0,1t<0T'(t) = 160 \times (-0{,}1)e^{-0{,}1t} = -16e^{-0{,}1t} < 0 : TT est strictement décroissante.
  4. TT est continue, strictement décroissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[, de 180180 vers 2020 (sans l'atteindre). Comme 5050 est compris entre 2020 et 180180, l'équation T(t)=50T(t) = 50 a une unique solution t0t_0.
  5. T(16)≈52,3>50T(16) \approx 52{,}3 > 50 et T(17)≈49,2<50T(17) \approx 49{,}2 < 50 : 16<t0<1716 < t_0 < 17. T(16,7)≈50,1T(16{,}7) \approx 50{,}1 et T(16,8)≈49,8T(16{,}8) \approx 49{,}8 : 16,7<t0<16,816{,}7 < t_0 < 16{,}8. Le gâteau est à 5050 °C après environ 1616 min 4545 s.
  6. Après nn étapes : amplitude 302n\dfrac{30}{2^n}. 30211≈0,015\dfrac{30}{2^{11}} \approx 0{,}015 et 30212≈0,007\dfrac{30}{2^{12}} \approx 0{,}007 : il faut 12 étapes.