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Terminale

Nombres complexes : forme algébrique — Exercices d'application

1. L’ensemble des nombres complexes

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Exercice 1 — ⭐

  1. Donne la partie réelle et la partie imaginaire de : z1=−4+7iz_1 = -4 + 7i ; z2=3−i2z_2 = \dfrac{3 - i}{2} ; z3=5iz_3 = 5i ; z4=2z_4 = \sqrt 2.
  2. Détermine les réels xx et yy tels que (2x−1)+i(y+3)=5−2i(2x - 1) + i(y + 3) = 5 - 2i.
  3. Pour quelles valeurs du réel mm le nombre z=(m2−4)+i(m+2)z = (m^2 - 4) + i(m + 2) est-il imaginaire pur ? réel ?
Voir le corrigé
  1. z1z_1 : −4-4 et 77 ; z2=32−12iz_2 = \dfrac32 - \dfrac12 i : 32\dfrac32 et −12-\dfrac12 ; z3z_3 : 00 et 55 ; z4z_4 : 2\sqrt 2 et 00.
  2. Par unicité de la forme algébrique : 2x−1=52x - 1 = 5 et y+3=−2y + 3 = -2, soit x=3x = 3 et y=−5y = -5.
  3. Imaginaire pur : m2−4=0m^2 - 4 = 0, soit m=2m = 2 ou m=−2m = -2 (pour m=−2m = -2, z=0z = 0, qui est à la fois réel et imaginaire pur). Réel : m+2=0m + 2 = 0, soit m=−2m = -2.

2. Opérations

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Exercice 2 — ⭐

Écris sous forme algébrique.

  1. (4−3i)+(−1+5i)(4 - 3i) + (-1 + 5i) ; (4−3i)−(−1+5i)(4 - 3i) - (-1 + 5i)
  2. (2−i)(3+2i)(2 - i)(3 + 2i) ; (1−2i)2(1 - 2i)^2 ; (5+i)(5−i)(5 + i)(5 - i)
  3. i10i^{10} ; i2026i^{2026} ; (1+i)8(1 + i)^{8}
Voir le corrigé
  1. 3+2i3 + 2i ; 5−8i5 - 8i.
  2. 6+4i−3i−2i2=8+i6 + 4i - 3i - 2i^2 = 8 + i ; 1−4i+4i2=−3−4i1 - 4i + 4i^2 = -3 - 4i ; 25−i2=2625 - i^2 = 26.
  3. 10=4×2+210 = 4 \times 2 + 2 : i10=−1i^{10} = -1 ; 2 026=4×506+22\,026 = 4 \times 506 + 2 : i2026=−1i^{2026} = -1 ; (1+i)2=2i(1 + i)^2 = 2i, donc (1+i)8=(2i)4=16i4=16(1 + i)^8 = (2i)^4 = 16i^4 = 16.

3. Conjugué

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Exercice 3 — ⭐⭐

  1. Donne le conjugué de 3−5i3 - 5i, de −2i-2i, de 77, de (2+i)(1−3i)(2 + i)(1 - 3i).
  2. Soit z=x+iyz = x + iy. Exprime en fonction de xx et yy la forme algébrique de Z=z2+zˉZ = z^2 + \bar z. Pour quels zz le nombre ZZ est-il réel ?
  3. Montre que pour tout complexe zz, Z′=z2+zˉ 2Z' = z^2 + \bar z^{\,2} est réel.
Voir le corrigé
  1. 3+5i3 + 5i ; 2i2i ; 77 ; (2+i)(1−3i)‾=(2−i)(1+3i)=2+6i−i+3=5+5i\overline{(2 + i)(1 - 3i)} = (2 - i)(1 + 3i) = 2 + 6i - i + 3 = 5 + 5i.
  2. z2=x2−y2+2ixyz^2 = x^2 - y^2 + 2ixy et zˉ=x−iy\bar z = x - iy, donc Z=(x2−y2+x)+i(2xy−y)=(x2−y2+x)+iy(2x−1)Z = (x^2 - y^2 + x) + i(2xy - y) = (x^2 - y^2 + x) + iy(2x - 1). ZZ est réel si et seulement si y(2x−1)=0y(2x - 1) = 0 : zz réel (y=0y = 0) ou Re(z)=12\text{Re}(z) = \dfrac12.
  3. Z′‾=z2‾+zˉ 2‾=zˉ 2+z2=Z′\overline{Z'} = \overline{z^2} + \overline{\bar z^{\,2}} = \bar z^{\,2} + z^2 = Z' : Z′Z' est égal à son conjugué, il est réel.

4. Inverse et quotient

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Exercice 4 — ⭐⭐

Écris sous forme algébrique.

  1. 13+4i\dfrac{1}{3 + 4i}
  2. 2+i1+i\dfrac{2 + i}{1 + i}
  3. 52−i+5i2+i\dfrac{5}{2 - i} + \dfrac{5i}{2 + i}
  4. (1+i1−i)2027\left(\dfrac{1 + i}{1 - i}\right)^{2027}
Voir le corrigé
  1. 3−4i9+16=325−425i\dfrac{3 - 4i}{9 + 16} = \dfrac{3}{25} - \dfrac{4}{25}i.
  2. (2+i)(1−i)2=2−2i+i+12=32−12i\dfrac{(2 + i)(1 - i)}{2} = \dfrac{2 - 2i + i + 1}{2} = \dfrac32 - \dfrac12 i.
  3. 5(2+i)5+5i(2−i)5=2+i+2i+1=3+3i\dfrac{5(2 + i)}{5} + \dfrac{5i(2 - i)}{5} = 2 + i + 2i + 1 = 3 + 3i.
  4. 1+i1−i=(1+i)22=2i2=i\dfrac{1 + i}{1 - i} = \dfrac{(1 + i)^2}{2} = \dfrac{2i}{2} = i, donc la puissance vaut i2027=−ii^{2027} = -i.

5. Équations

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Exercice 5 — ⭐⭐

Résous dans C\mathbb{C}.

  1. (1+2i)z=7−i(1 + 2i)z = 7 - i
  2. 3z−2i=iz+43z - 2i = iz + 4
  3. z+1z−1=i\dfrac{z + 1}{z - 1} = i (avec z≠1z \neq 1)
Voir le corrigé
  1. z=7−i1+2i=(7−i)(1−2i)5=7−14i−i−25=1−3iz = \dfrac{7 - i}{1 + 2i} = \dfrac{(7 - i)(1 - 2i)}{5} = \dfrac{7 - 14i - i - 2}{5} = 1 - 3i.
  2. (3−i)z=4+2i(3 - i)z = 4 + 2i, z=(4+2i)(3+i)10=12+4i+6i−210=1+iz = \dfrac{(4 + 2i)(3 + i)}{10} = \dfrac{12 + 4i + 6i - 2}{10} = 1 + i.
  3. z+1=iz−i  ⟺  z(1−i)=−1−i  ⟺  z=−1−i1−i=(−1−i)(1+i)2=−2i2=−iz + 1 = iz - i \iff z(1 - i) = -1 - i \iff z = \dfrac{-1 - i}{1 - i} = \dfrac{(-1 - i)(1 + i)}{2} = \dfrac{-2i}{2} = -i (et −i≠1-i \neq 1).

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Résous dans C\mathbb{C} en posant z=x+iyz = x + iy.

  1. z+2zˉ=6−iz + 2\bar z = 6 - i
  2. zzˉ+2z=8+4iz\bar z + 2z = 8 + 4i
Voir le corrigé
  1. x+iy+2x−2iy=3x−iy=6−ix + iy + 2x - 2iy = 3x - iy = 6 - i : x=2x = 2, y=1y = 1 ; z=2+iz = 2 + i.
  2. x2+y2+2x+2iy=8+4ix^2 + y^2 + 2x + 2iy = 8 + 4i : 2y=42y = 4 donc y=2y = 2, puis x2+4+2x=8x^2 + 4 + 2x = 8, x2+2x−4=0x^2 + 2x - 4 = 0, x=−1±5x = -1 \pm \sqrt5. Solutions : z=−1+5+2iz = -1 + \sqrt5 + 2i et z=−1−5+2iz = -1 - \sqrt5 + 2i.

6. Formule du binôme

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Exercice 7 — ⭐⭐⭐

  1. Développe (2+i)3(2 + i)^3 à l’aide de la formule du binôme.
  2. Développe (1+i)5(1 + i)^5 puis vérifie avec (1+i)4=−4(1 + i)^4 = -4.
  3. En développant (1+i)n(1 + i)^n et (1−i)n(1 - i)^n, montre que pour n=4n = 4 : (40)−(42)+(44)=Re((1+i)4)\binom40 - \binom42 + \binom44 = \text{Re}\left((1 + i)^4\right). Calcule cette somme.
Voir le corrigé
  1. 8+3×4×i+3×2×i2+i3=8+12i−6−i=2+11i8 + 3 \times 4 \times i + 3 \times 2 \times i^2 + i^3 = 8 + 12i - 6 - i = 2 + 11i.
  2. (1+i)5=1+5i+10i2+10i3+5i4+i5=1+5i−10−10i+5+i=−4−4i(1 + i)^5 = 1 + 5i + 10i^2 + 10i^3 + 5i^4 + i^5 = 1 + 5i - 10 - 10i + 5 + i = -4 - 4i. Et (1+i)4(1+i)=−4(1+i)=−4−4i(1 + i)^4(1 + i) = -4(1 + i) = -4 - 4i.
  3. (1+i)4=(40)+(41)i+(42)i2+(43)i3+(44)i4=((40)−(42)+(44))+i((41)−(43))(1 + i)^4 = \binom40 + \binom41 i + \binom42 i^2 + \binom43 i^3 + \binom44 i^4 = \left(\binom40 - \binom42 + \binom44\right) + i\left(\binom41 - \binom43\right). La partie réelle est 1−6+1=−41 - 6 + 1 = -4, ce qui est bien Re(−4)\text{Re}(-4).