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Terminale⏱ 1 heure

Nombres complexes : forme algébrique — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

  1. Im(2−9i)\text{Im}(2 - 9i) ?
  2. i3i^3 ?
  3. (1−i)2(1 - i)^2 ?
  4. Conjugué de −3+4i-3 + 4i ?
  5. (2+5i)(2−5i)(2 + 5i)(2 - 5i) ?
  6. 1i\dfrac1i sous forme algébrique ?
  7. z+zˉz + \bar z pour z=6−iz = 6 - i ?
  8. Coefficient de a2b3a^2b^3 dans (a+b)5(a + b)^5 ?
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  1. −9-9.
  2. −i-i.
  3. 1−2i+i2=−2i1 - 2i + i^2 = -2i.
  4. −3−4i-3 - 4i.
  5. 4+25=294 + 25 = 29.
  6. 1i=−ii×(−i)=−i\dfrac1i = \dfrac{-i}{i \times (-i)} = -i.
  7. 1212.
  8. (53)=10\binom53 = 10 (ou (52)\binom52, c'est pareil).

Exercice 2 (4 points) — Démonstration de cours

  1. Démontre que pour tous nombres complexes zz et z′z', zz′‾=zˉ z′‾\overline{zz'} = \bar z\,\overline{z'}. (2 points)
  2. En déduire, par récurrence, que pour tout entier naturel nn, zn‾=zˉ n\overline{z^n} = \bar z^{\,n}. (2 points)
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  1. Avec z=a+ibz = a + ib, z′=a′+ib′z' = a' + ib' : zz′=(aa′−bb′)+i(ab′+a′b)zz' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b), donc zz′‾=(aa′−bb′)−i(ab′+a′b)\overline{zz'} = (aa' - bb') - i(ab' + a'b). D'autre part, zˉ z′‾=(a−ib)(a′−ib′)=aa′−iab′−ia′b−bb′=(aa′−bb′)−i(ab′+a′b)\bar z\,\overline{z'} = (a - ib)(a' - ib') = aa' - iab' - ia'b - bb' = (aa' - bb') - i(ab' + a'b). Les deux expressions sont égales.
  2. Pour n=0n = 0 : z0‾=1=zˉ 0\overline{z^0} = 1 = \bar z^{\,0}. Si zn‾=zˉ n\overline{z^n} = \bar z^{\,n} pour un entier nn, alors d'après la question 1 : zn+1‾=znz‾=zn‾ zˉ=zˉ nzˉ=zˉ n+1\overline{z^{n+1}} = \overline{z^n z} = \overline{z^n}\,\bar z = \bar z^{\,n}\bar z = \bar z^{\,n+1}. La propriété est héréditaire ; elle est donc vraie pour tout nn.

Exercice 3 (5 points) — Calculs

On pose z1=2−3iz_1 = 2 - 3i et z2=1+iz_2 = 1 + i.

  1. Écris sous forme algébrique z1+z2z_1 + z_2, z1z2z_1 z_2, z12z_1^2. (2 points)
  2. Écris sous forme algébrique z1z2\dfrac{z_1}{z_2}. (1,5 point)
  3. Calcule z2 6z_2^{\,6} en utilisant z2 2z_2^{\,2}. (1,5 point)
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  1. z1+z2=3−2iz_1 + z_2 = 3 - 2i ; z1z2=2+2i−3i−3i2=5−iz_1z_2 = 2 + 2i - 3i - 3i^2 = 5 - i ; z12=4−12i+9i2=−5−12iz_1^2 = 4 - 12i + 9i^2 = -5 - 12i.
  2. (2−3i)(1−i)2=2−2i−3i+3i22=−1−5i2=−12−52i\dfrac{(2 - 3i)(1 - i)}{2} = \dfrac{2 - 2i - 3i + 3i^2}{2} = \dfrac{-1 - 5i}{2} = -\dfrac12 - \dfrac52 i.
  3. z2 2=2iz_2^{\,2} = 2i, donc z2 6=(2i)3=8i3=−8iz_2^{\,6} = (2i)^3 = 8i^3 = -8i.

Exercice 4 (7 points) — Équations

  1. Résous dans C\mathbb{C} : (3+i)z−2=4i(3 + i)z - 2 = 4i. (2 points)
  2. Résous dans C\mathbb{C} : 2z−zˉ=1+6i2z - \bar z = 1 + 6i. (2 points)
  3. On pose, pour z≠iz \neq i, Z=z+2z−iZ = \dfrac{z + 2}{z - i}. Avec z=x+iyz = x + iy, on admet que Re(Z)=x2+2x+y2−yx2+(y−1)2\text{Re}(Z) = \dfrac{x^2 + 2x + y^2 - y}{x^2 + (y - 1)^2}. Détermine les nombres zz réels pour lesquels ZZ est imaginaire pur. (3 points)
Voir le corrigé
  1. (3+i)z=2+4i(3 + i)z = 2 + 4i, z=(2+4i)(3−i)10=6−2i+12i+410=1+iz = \dfrac{(2 + 4i)(3 - i)}{10} = \dfrac{6 - 2i + 12i + 4}{10} = 1 + i.
  2. Avec z=x+iyz = x + iy : 2x+2iy−x+iy=x+3iy=1+6i2x + 2iy - x + iy = x + 3iy = 1 + 6i, donc x=1x = 1 et y=2y = 2 : z=1+2iz = 1 + 2i.
  3. Pour z=xz = x réel (y=0y = 0) : Re(Z)=x2+2xx2+1\text{Re}(Z) = \dfrac{x^2 + 2x}{x^2 + 1}. ZZ est imaginaire pur si et seulement si Re(Z)=0\text{Re}(Z) = 0, c'est-à-dire x(x+2)=0x(x + 2) = 0 : x=0x = 0 ou x=−2x = -2. Pour z=0z = 0, Z=2−i=2iZ = \dfrac{2}{-i} = 2i ; pour z=−2z = -2, Z=0Z = 0 (qui est imaginaire pur, et réel).