Terminale⏱ 2 à 3 semaines

Nombres complexes : forme algébrique

Ce que tu vas apprendre

Écrire un nombre complexe sous forme algébrique, identifier ses parties réelle et imaginaire
Effectuer des calculs algébriques (somme, produit, puissances de i)
Utiliser le conjugué et ses propriétés (somme, produit, inverse, puissance)
Calculer l'inverse et le quotient de deux nombres complexes
Résoudre une équation az = b et une équation simple faisant intervenir z et son conjugué
Démontrer et utiliser la formule du binôme dans ℂ

Notions clési² = −1forme algébrique a + ibRe(z), Im(z)conjuguéinverse, quotientformule du binôme

Ce que tu sais déjà. Tu sais calculer avec des expressions littérales, utiliser les identités remarquables et les coefficients binomiaux (Terminale — Combinatoire et dénombrement), et tu sais que l’équation $x^2 = -1$ n’a pas de solution réelle (Première — Second degré). Au XVIᵉ siècle, en cherchant à résoudre des équations de degré 3, Cardan et Bombelli ont osé calculer avec des « racines de nombres négatifs » : ils obtenaient ainsi des solutions réelles justes. Ces nombres « imaginaires » sont devenus les nombres complexes.

1. L’ensemble des nombres complexes

Théorème (admis). Il existe un ensemble noté $\mathbb{C}$ , appelé ensemble des nombres complexes, qui :

contient $\mathbb{R}$ ;
contient un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ ;
est muni d’une addition et d’une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que dans $\mathbb{R}$ .

Définition (forme algébrique). Tout nombre complexe $z$ s’écrit de manière unique $z = a + ib$ avec $a$ et $b$ réels.

$a$ est la partie réelle de $z$ , notée $\text{Re}(z)$ ;
$b$ est la partie imaginaire de $z$ , notée $\text{Im}(z)$ (c’est un réel) ;
si $b = 0$ , $z$ est réel ; si $a = 0$ , $z$ est imaginaire pur.

Conséquence (unicité). Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : $a + ib = a' + ib' \iff a = a'$ et $b = b'$ . En particulier, $a + ib = 0 \iff a = b = 0$ .

Exemples. $z = 3 - 2i$ : $\text{Re}(z) = 3$ , $\text{Im}(z) = -2$ (et non $-2i$ ). $5$ est réel, $4i$ est imaginaire pur, $0$ est les deux.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Opérations

On calcule comme avec des expressions littérales, en remplaçant $i^2$ par $-1$ .

Somme : $(a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b')$ .
Produit : $(a + ib)(a' + ib') = aa' + iab' + iba' + i^2 bb' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)$ .

Exemples.

$(2 + 3i)(1 - 4i) = 2 - 8i + 3i - 12i^2 = 2 - 5i + 12 = 14 - 5i$ .

$(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$ .

$(3 + 2i)(3 - 2i) = 9 - (2i)^2 = 9 + 4 = 13$ : le produit est réel.

Puissances de $i$ . $i^0 = 1$ , $i^1 = i$ , $i^2 = -1$ , $i^3 = -i$ , $i^4 = 1$ , puis le cycle recommence : $i^n$ ne dépend que du reste de $n$ modulo $4$ .

Les puissances de i tournent en boucle : multiplier par i fait passer d'une valeur à la suivante ; i⁴ = 1.

Exemple. $2\,027 = 4 \times 506 + 3$ , donc $i^{2027} = i^3 = -i$ .

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Conjugué

Définition. Le conjugué de $z = a + ib$ est $\bar z = a - ib$ .

Propriétés. Pour tout nombre complexe $z = a + ib$ :

$z + \bar z = 2a = 2\,\text{Re}(z)$ et $z - \bar z = 2ib = 2i\,\text{Im}(z)$ ;
$z\bar z = a^2 + b^2$ : c’est un réel positif ;
$z$ est réel $\iff \bar z = z$ ; $z$ est imaginaire pur $\iff \bar z = -z$ ;
$\overline{\bar z} = z$ .

Propriétés algébriques. Pour tous $z$ , $z'$ complexes et tout entier naturel $n$ : $\overline{z + z'} = \bar z + \overline{z'}, \qquad \overline{zz'} = \bar z\,\overline{z'}, \qquad \overline{z^n} = \bar z^{\,n}, \qquad \overline{\left(\frac1z\right)} = \frac{1}{\bar z}\ (z \neq 0).$

🧠 Démonstration — conjugué d'un produit, d'une puissance, d'un inverse (exigible au programme)

Produit. Avec $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ : $zz' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)$ , donc $\overline{zz'} = (aa' - bb') - i(ab' + a'b)$ . Et $\bar z\,\overline{z'} = (a - ib)(a' - ib') = aa' - iab' - ia'b + i^2 bb' = (aa' - bb') - i(ab' + a'b)$ . Les deux sont égaux.

Puissance. Par récurrence sur $n$ : $\overline{z^0} = \overline{1} = 1 = \bar z^{\,0}$ . Si $\overline{z^n} = \bar z^{\,n}$ , alors $\overline{z^{n+1}} = \overline{z^n \times z} = \overline{z^n}\,\bar z = \bar z^{\,n}\bar z = \bar z^{\,n+1}$ (propriété du produit).

Inverse. Pour $z \neq 0$ : $z \times \dfrac1z = 1$ , donc $\overline{z} \times \overline{\left(\dfrac1z\right)} = \overline{1} = 1$ (propriété du produit). Ainsi $\overline{\left(\dfrac1z\right)}$ est l’inverse de $\bar z$ : $\overline{\left(\dfrac1z\right)} = \dfrac{1}{\bar z}$ .

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Inverse et quotient

Propriété. Tout nombre complexe $z = a + ib$ non nul admet un inverse : $\frac1z = \frac{\bar z}{z\bar z} = \frac{a - ib}{a^2 + b^2}.$

📋 Méthode — Écrire un quotient sous forme algébrique

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : $\frac{3 + i}{1 - 2i} = \frac{(3 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{3 + 6i + i + 2i^2}{1 + 4} = \frac{1 + 7i}{5} = \frac15 + \frac75 i.$

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Équations

Équation $az = b$ . Si $a \neq 0$ , l’unique solution est $z = \dfrac ba$ , que l’on écrit sous forme algébrique.

Exemple. $(2 - i)z = 3 + 4i \iff z = \dfrac{3 + 4i}{2 - i} = \dfrac{(3 + 4i)(2 + i)}{5} = \dfrac{6 + 3i + 8i - 4}{5} = \dfrac25 + \dfrac{11}{5}i$ .

📋 Méthode — Équation avec z et son conjugué

On pose $z = x + iy$ ( $x$ , $y$ réels), on remplace, puis on identifie parties réelles et imaginaires.

Exemple : $2z + i\bar z = 5 + 4i$ . Avec $z = x + iy$ : $2x + 2iy + i(x - iy) = 2x + y + i(x + 2y)$ . On identifie : $2x + y = 5$ et $x + 2y = 4$ , d’où $x = 2$ et $y = 1$ : $z = 2 + i$ . (Vérification : $2(2 + i) + i(2 - i) = 4 + 2i + 2i + 1 = 5 + 4i$ .)

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

6. Formule du binôme

Théorème (formule du binôme de Newton). Pour tous nombres complexes $a$ et $b$ et tout entier naturel $n$ : $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom nk a^{n-k} b^k = a^n + \binom n1 a^{n-1}b + \dots + \binom n{n-1} ab^{n-1} + b^n.$

Le triangle de Pascal donne les coefficients : la ligne n = 4 fournit (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

🧠 Démonstration par récurrence (exigible au programme)

Initialisation. Pour $n = 0$ : $(a + b)^0 = 1$ et $\binom00 a^0 b^0 = 1$ .

Hérédité. Supposons la formule vraie au rang $n$ . Alors $(a + b)^{n+1} = (a + b)\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^{n-k}b^k = \sum_{k=0}^{n}\binom nk a^{n+1-k}b^k + \sum_{k=0}^{n}\binom nk a^{n-k}b^{k+1}.$ Dans la seconde somme, on pose $j = k + 1$ : elle vaut $\sum_{j=1}^{n+1}\binom n{j-1} a^{n+1-j}b^j$ . En regroupant les termes en $a^{n+1-k}b^k$ pour $1 \leqslant k \leqslant n$ et en utilisant la relation de Pascal $\binom nk + \binom n{k-1} = \binom{n+1}k$ : $(a + b)^{n+1} = a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}k a^{n+1-k}b^k + b^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}k a^{n+1-k}b^k.$ La formule est vraie au rang $n + 1$ ; elle est donc vraie pour tout $n$ .

Exemple. $(1 + i)^4 = 1 + 4i + 6i^2 + 4i^3 + i^4 = 1 + 4i - 6 - 4i + 1 = -4$ . (Plus rapide : $(1 + i)^2 = 2i$ , donc $(1 + i)^4 = (2i)^2 = -4$ .)

→ S’entraîner : Exercice 7

À retenir.

$i^2 = -1$ ; $z = a + ib$ de façon unique ; $\text{Re}(z) = a$ , $\text{Im}(z) = b$ (réels).
On calcule comme dans $\mathbb{R}$ en remplaçant $i^2$ par $-1$ ; $i^n$ dépend de $n$ modulo $4$ .
$\bar z = a - ib$ ; $z\bar z = a^2 + b^2$ ; le conjugué respecte somme, produit, puissance, inverse.
Quotient : multiplier par le conjugué du dénominateur.
Équation avec $\bar z$ : poser $z = x + iy$ et identifier. Binôme : $(a + b)^n = \sum \binom nk a^{n-k}b^k$ .