Terminale

Sommes de variables aléatoires — Exercices d'application

1. Somme de deux variables aléatoires, linéarité de l’espérance

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Exercice 1 — ⭐

$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires telles que $E(X) = 3$ et $E(Y) = -2$ .

Calcule $E(X + Y)$ , $E(X - Y)$ et $E(2X - 3Y + 1)$ .
On lance trois dés équilibrés ; $T$ est le total des points. Calcule $E(T)$ sans déterminer la loi de $T$ .

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$E(X + Y) = 1$ ; $E(X - Y) = 5$ ; $E(2X - 3Y + 1) = 6 + 6 + 1 = 13$ .
$T = X_1 + X_2 + X_3$ avec $E(X_i) = 3{,}5$ : $E(T) = 10{,}5$ .

2. Variance d’une somme de variables indépendantes

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Exercice 2 — ⭐⭐

$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes avec $V(X) = 4$ et $V(Y) = 9$ .

Calcule $V(X + Y)$ , $V(X - Y)$ , $V(3X)$ et $V(3X - 2)$ .
Calcule $\sigma(2X + Y)$ . Est-ce égal à $2\sigma(X) + \sigma(Y)$ ?
Pour le total $T$ de trois dés (exercice 1), calcule $V(T)$ et $\sigma(T)$ (on rappelle que $V = \dfrac{35}{12}$ pour un dé).

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$V(X + Y) = 13$ ; $V(X - Y) = 4 + 9 = 13$ ; $V(3X) = 9 \times 4 = 36$ ; $V(3X - 2) = 36$ (ajouter une constante ne change pas la dispersion).
$V(2X + Y) = 4 \times 4 + 9 = 25$ , donc $\sigma(2X + Y) = 5$ . Or $2\sigma(X) + \sigma(Y) = 4 + 3 = 7$ : non, on n’additionne pas les écarts types.
Les trois dés sont indépendants : $V(T) = 3 \times \dfrac{35}{12} = \dfrac{35}{4}$ , $\sigma(T) = \dfrac{\sqrt{35}}{2} \approx 2{,}96$ .

Exercice 3 — ⭐⭐

$X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $\dfrac12$ , et $Y = 1 - X$ .

Quelle est la loi de $Y$ ? Calcule $V(X)$ et $V(Y)$ .
Que vaut $X + Y$ ? Calcule $V(X + Y)$ .
Pourquoi l’égalité $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ est-elle fausse ici ?

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$Y$ vaut $1$ quand $X$ vaut $0$ et inversement : $Y$ suit aussi la loi de Bernoulli de paramètre $\dfrac12$ . $V(X) = V(Y) = \dfrac14$ .
$X + Y = 1$ (constante) : $V(X + Y) = 0$ .
$0 \neq \dfrac12$ : $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes (connaître $X$ détermine $Y$ ). La propriété d’additivité ne s’applique pas.

3. Application : espérance et variance de la loi binomiale

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Exercice 4 — ⭐⭐

$X$ suit $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}2)$ . Calcule $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ .
Une variable $Y$ suit une loi binomiale d’espérance $12$ et de variance $4{,}8$ . Détermine ses paramètres.

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$E(X) = 10$ , $V(X) = 50 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 8$ , $\sigma(X) = \sqrt8 = 2\sqrt2 \approx 2{,}83$ .
$np = 12$ et $np(1 - p) = 4{,}8$ , donc $1 - p = \dfrac{4{,}8}{12} = 0{,}4$ , $p = 0{,}6$ et $n = \dfrac{12}{0{,}6} = 20$ : $Y \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}6)$ .

Exercice 5 — ⭐⭐⭐

Un joueur lance 3 fois un dé équilibré. On note $X$ le nombre de 6 obtenus.

Écris $X$ comme une somme de trois variables de Bernoulli ; précise leur paramètre.
En déduire $E(X)$ et $V(X)$ sans utiliser la formule de la loi binomiale.
Le joueur gagne 5 € par 6 obtenu et paie 2 € pour jouer. Exprime son gain $G$ en fonction de $X$ ; calcule $E(G)$ et $\sigma(G)$ . Le jeu est-il favorable ?

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$X = X_1 + X_2 + X_3$ où $X_i$ vaut $1$ si le $i$ -ème lancer donne 6 : Bernoulli de paramètre $\dfrac16$ .
$E(X) = 3 \times \dfrac16 = \dfrac12$ ; les lancers sont indépendants : $V(X) = 3 \times \dfrac16 \times \dfrac56 = \dfrac{5}{12}$ .
$G = 5X - 2$ . $E(G) = 5 \times \dfrac12 - 2 = 0{,}5$ € ; $V(G) = 25 \times \dfrac5{12} = \dfrac{125}{12}$ , $\sigma(G) \approx 3{,}23$ €. Espérance positive : jeu favorable au joueur (en moyenne $0{,}50$ € gagné par partie), mais avec une forte dispersion.

4. Échantillon : somme et moyenne

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Exercice 6 — ⭐⭐⭐

À une fête foraine, une roue donne un gain $X$ (en euros, mise déduite) selon la loi :

$x$	$-2$	$1$	$8$
$P(X = x)$	$0{,}5$	$0{,}3$	$0{,}2$

Calcule $E(X)$ et $V(X)$ .
On joue 10 parties indépendantes. Calcule l’espérance et l’écart type du gain total $S_{10}$ .
Calcule l’espérance et l’écart type du gain moyen par partie $M_{10}$ .

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$E(X) = -1 + 0{,}3 + 1{,}6 = 0{,}9$ ; $E(X^2) = 2 + 0{,}3 + 12{,}8 = 15{,}1$ ; $V(X) = 15{,}1 - 0{,}81 = 14{,}29$ .
$E(S_{10}) = 9$ € ; $V(S_{10}) = 142{,}9$ , $\sigma(S_{10}) \approx 11{,}95$ €.
$E(M_{10}) = 0{,}9$ € ; $\sigma(M_{10}) = \dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{10}} = \sqrt{1{,}429} \approx 1{,}20$ €.

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

À un guichet, la durée de service d’un client (en minutes) est une variable aléatoire d’espérance $5$ et d’écart type $2$ . On considère 25 clients, dont les durées de service sont indépendantes.

Calcule l’espérance et l’écart type de la durée totale de service.
Calcule l’espérance et l’écart type de la durée moyenne par client.
Combien de clients faudrait-il pour que l’écart type de la durée moyenne soit inférieur à $0{,}1$ minute ?

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$E(S_{25}) = 125$ min ; $V(S_{25}) = 25 \times 4 = 100$ , $\sigma(S_{25}) = 10$ min.
$E(M_{25}) = 5$ min ; $\sigma(M_{25}) = \dfrac{2}{\sqrt{25}} = 0{,}4$ min.
$\dfrac{2}{\sqrt n} < 0{,}1 \iff \sqrt n > 20 \iff n > 400$ : au moins $401$ clients.

Exercice 8 — ⭐⭐

On reprend le programme de simulation du cours (moyennes de $n$ dés).

Pour $n = 16$ , quel écart type des moyennes prévoit la théorie ?
Modifie le programme pour qu’il affiche aussi la moyenne des $5\,000$ moyennes simulées. De quelle valeur doit-elle être proche ?
Par quel facteur faut-il multiplier $n$ pour diviser par $2$ l’écart type de la moyenne ?

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$\dfrac{\sigma}{\sqrt{16}} = \dfrac{\sqrt{35/12}}{4} \approx 0{,}427$ .
On ajoute print(sum(moyennes) / len(moyennes)) dans la boucle : la valeur affichée est proche de $3{,}5 = E(M_n)$ .
$\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ : pour diviser par $2$ , il faut multiplier $\sqrt n$ par $2$ , donc $n$ par $4$ .