Terminale⏱ 1 heure

Sommes de variables aléatoires — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question). $X$ et $Y$ sont indépendantes, $E(X) = 4$ , $V(X) = 2$ , $E(Y) = -1$ , $V(Y) = 3$ .

$E(X + Y)$ ?
$V(X + Y)$ ?
$E(5X)$ ?
$V(5X)$ ?
$V(X - Y)$ ?
$E(2X - Y + 3)$ ?
Espérance de la loi $\mathcal{B}(30\,;\,0{,}2)$ ?
Variance de la loi $\mathcal{B}(30\,;\,0{,}2)$ ?

Voir le corrigé

$3$ .
$5$ .
$20$ .
$50$ .
$5$ .
$8 + 1 + 3 = 12$ .
$6$ .
$30 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 4{,}8$ .

Exercice 2 (5 points) — Calculs

$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes avec $E(X) = 2$ , $V(X) = 1$ , $E(Y) = 5$ et $V(Y) = 4$ .

Calcule $E(3X - Y)$ et $V(3X - Y)$ . (2 points)
Calcule $\sigma(X + Y)$ . (1 point)
On pose $Z = X + X$ (on ajoute $X$ à elle-même). Calcule $V(Z)$ de deux façons : avec $V(2X)$ , puis en appliquant (à tort) l'additivité. Explique la différence. (2 points)

Voir le corrigé

$E(3X - Y) = 6 - 5 = 1$ ; $V(3X - Y) = 9V(X) + V(Y) = 9 + 4 = 13$ (indépendance).
$V(X + Y) = 5$ , $\sigma(X + Y) = \sqrt5 \approx 2{,}24$ .
$V(Z) = V(2X) = 4V(X) = 4$ . L'additivité donnerait $V(X) + V(X) = 2$ : c'est faux, car $X$ n'est pas indépendante d'elle-même. Additionner deux copies indépendantes de $X$ (deux épreuves) disperse moins que doubler $X$ .

Exercice 3 (4 points) — Démonstration de cours

Soit $X$ une variable aléatoire de loi $\mathcal{B}(n, p)$ . En écrivant $X$ comme une somme de variables de Bernoulli indépendantes, démontre que $E(X) = np$ et $V(X) = np(1 - p)$ .

Voir le corrigé

On note $X_i$ ( $1 \leqslant i \leqslant n$ ) la variable qui vaut $1$ si la $i$ -ème épreuve du schéma de Bernoulli est un succès, $0$ sinon : $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ , $E(X_i) = p$ et $V(X_i) = p(1 - p)$ . Le nombre de succès est $X = X_1 + \dots + X_n$ . Par linéarité, $E(X) = np$ . Les épreuves étant indépendantes, les $X_i$ sont indépendantes et $V(X) = \displaystyle\sum_{i=1}^n V(X_i) = np(1 - p)$ .

Exercice 4 (7 points) — Pommes et échantillons

Dans un verger, la masse d'une pomme (en grammes) est une variable aléatoire d'espérance $150$ et d'écart type $20$ . Les masses des pommes sont supposées indépendantes.

On remplit un sac de 9 pommes. Calcule l'espérance et l'écart type de la masse totale du sac. (2 points)
Calcule l'espérance et l'écart type de la masse moyenne d'une pomme du sac. (1,5 point)
Combien de pommes faut-il peser au minimum pour que l'écart type de la masse moyenne soit au plus de $2$ g ? (1,5 point)
Chaque pomme est abîmée avec une probabilité de $0{,}03$ , indépendamment des autres. Dans une caisse de 100 pommes, on note $A$ le nombre de pommes abîmées. Donne la loi de $A$ , son espérance et son écart type. (2 points)

Voir le corrigé

$E(S_9) = 9 \times 150 = 1\,350$ g ; $V(S_9) = 9 \times 400 = 3\,600$ , $\sigma(S_9) = 60$ g.
$E(M_9) = 150$ g ; $\sigma(M_9) = \dfrac{20}{\sqrt9} = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}7$ g.
$\dfrac{20}{\sqrt n} \leqslant 2 \iff \sqrt n \geqslant 10 \iff n \geqslant 100$ : au moins $100$ pommes.
$A \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}03)$ : $E(A) = 3$ , $V(A) = 100 \times 0{,}03 \times 0{,}97 = 2{,}91$ , $\sigma(A) \approx 1{,}71$ .