Terminale⏱ 3 séances

Sommes de variables aléatoires

Ce que tu vas apprendre

Calculer l'espérance d'une somme et utiliser la linéarité de l'espérance
Calculer la variance d'une somme de variables indépendantes ; utiliser V(aX) = a²V(X)
Représenter une variable aléatoire comme somme de variables plus simples
Démontrer que l'espérance et la variance de la loi binomiale valent np et np(1 − p)
Calculer l'espérance, la variance et l'écart type de la somme et de la moyenne d'un échantillon

Notions cléssomme de variables aléatoireslinéarité de l'espérancevariables aléatoires indépendantesV(X + Y) = V(X) + V(Y)V(aX) = a²V(X)échantillon de taille nsomme Sₙ et moyenne Mₙσ/√n

Ce que tu sais déjà. Tu connais la loi d’une variable aléatoire, son espérance, sa variance, son écart type, la formule de König-Huygens et la relation $E(aX + b) = aE(X) + b$ (Première — Variables aléatoires), et la loi binomiale (Terminale — Loi binomiale). On apprend ici à calculer l’espérance et la variance d’une somme sans déterminer sa loi.

1. Somme de deux variables aléatoires, linéarité de l’espérance

Définition. Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires définies sur le même univers, $X + Y$ est la variable aléatoire qui, à chaque issue $\omega$ , associe $X(\omega) + Y(\omega)$ . De même pour $aX$ ( $a$ réel).

Exemple. On lance deux dés équilibrés ; $X$ est le résultat du premier, $Y$ celui du second. $S = X + Y$ est la somme des deux résultats ; elle prend les valeurs de $2$ à $12$ .

Propriété (linéarité de l’espérance, admise). Pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ et tout réel $a$ : $E(X + Y) = E(X) + E(Y) \qquad\text{et}\qquad E(aX) = a\,E(X).$

Exemple. Pour un dé équilibré, $E(X) = 3{,}5$ . Donc $E(S) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$ : on obtient l’espérance de la somme sans calculer la loi de $S$ (qui demanderait un tableau de 36 cases).

Loi de la somme S de deux dés équilibrés : elle est symétrique autour de 7, qui est aussi son espérance, conformément à E(S) = E(X) + E(Y) = 3,5 + 3,5.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Variance d’une somme de variables indépendantes

Variables indépendantes. Dans le cadre d’une succession d’épreuves indépendantes, deux variables aléatoires $X$ et $Y$ liées à des épreuves différentes (par exemple, le résultat du premier dé et celui du second) sont dites indépendantes : pour tous $x$ et $y$ , $P(X = x \text{ et } Y = y) = P(X = x) \times P(Y = y)$ .

Propriétés (admises).

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ .
Pour tout réel $a$ : $V(aX) = a^2\,V(X)$ , donc $\sigma(aX) = |a|\,\sigma(X)$ .

Attention.

L’additivité de la variance exige l’indépendance : si $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $\frac12$ et $Y = 1 - X$ , alors $X + Y = 1$ est constante, $V(X + Y) = 0$ , alors que $V(X) + V(Y) = \dfrac14 + \dfrac14 = \dfrac12$ .
On n’additionne pas les écarts types : $\sigma(X + Y) = \sqrt{V(X) + V(Y)}$ .
$V(X - Y) = V(X) + V(-Y) = V(X) + V(Y)$ (et non $V(X) - V(Y)$ ) pour $X$ , $Y$ indépendantes.

Exemple. Pour un dé, $V(X) = \dfrac{35}{12}$ . Les deux dés sont indépendants : $V(S) = \dfrac{35}{12} + \dfrac{35}{12} = \dfrac{35}{6}$ et $\sigma(S) = \sqrt{\dfrac{35}6} \approx 2{,}42$ . En revanche $V(2X) = 4V(X) = \dfrac{35}{3}$ : doubler un dé disperse plus que lancer deux dés.

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. Application : espérance et variance de la loi binomiale

Propriété (démonstration exigible). Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ , alors $E(X) = np, \qquad V(X) = np(1 - p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}.$

🧠 Démonstration — espérance et variance de la loi binomiale (exigible au programme)

On considère le schéma de Bernoulli associé : $n$ épreuves identiques et indépendantes, de probabilité de succès $p$ . Pour $i = 1, \dots, n$ , on note $X_i$ la variable qui vaut $1$ si la $i$ -ème épreuve est un succès, $0$ sinon. Chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X_i) = p$ et $V(X_i) = p(1 - p)$ .

Le nombre total de succès est $X = X_1 + X_2 + \dots + X_n$ .

Par linéarité de l’espérance : $E(X) = E(X_1) + \dots + E(X_n) = np$ .
Les $X_i$ sont liées à des épreuves différentes et indépendantes, donc sont indépendantes : par additivité de la variance, $V(X) = V(X_1) + \dots + V(X_n) = np(1 - p)$ .

Exemple. $X \sim \mathcal{B}(400\,;\,0{,}25)$ : $E(X) = 100$ , $V(X) = 75$ , $\sigma(X) = \sqrt{75} \approx 8{,}7$ .

→ S’entraîner : Exercice 4 · Exercice 5

4. Échantillon : somme et moyenne

Définition. Un échantillon de taille $n$ d’une loi de probabilité est une liste $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ de variables aléatoires indépendantes suivant toutes cette loi (on répète $n$ fois la même expérience de façon indépendante).

On note $\mu = E(X_i)$ et $V = V(X_i)$ (communs à tous les $X_i$ ), et on pose $S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n \qquad\text{et}\qquad M_n = \frac{S_n}{n} \;\text{(moyenne de l'échantillon)}.$

Propriété.

	Espérance	Variance	Écart type
$S_n$	$n\mu$	$nV$	$\sqrt n\,\sigma$
$M_n$	$\mu$	$\dfrac{V}{n}$	$\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$

Justification. Linéarité : $E(S_n) = n\mu$ . Indépendance : $V(S_n) = nV$ . Puis $M_n = \dfrac1n S_n$ : $E(M_n) = \dfrac1n \times n\mu = \mu$ et $V(M_n) = \dfrac1{n^2} \times nV = \dfrac Vn$ .

Interprétation. La moyenne d’un échantillon a la même espérance que chaque variable, mais son écart type est divisé par $\sqrt n$ : plus l’échantillon est grand, plus la moyenne se concentre autour de $\mu$ . (C’est le point de départ du chapitre suivant.)

Loi de la moyenne Mₙ des résultats de n dés équilibrés, pour n = 1, 2 et 4 : toujours centrée en 3,5, elle est de plus en plus resserrée (écart type ≈ 1,71, puis 1,21, puis 0,85 : divisé par √n).

Exemple (simulation). En simulant $5\,000$ moyennes de $n$ dés, on mesure l’écart type des moyennes obtenues :

from random import randint
from statistics import pstdev

def moyenne_des(n):
    return sum(randint(1, 6) for i in range(n)) / n

for n in [1, 4, 16, 100]:
    moyennes = [moyenne_des(n) for k in range(5000)]
    print(n, round(pstdev(moyennes), 3), round((35 / 12) ** 0.5 / n ** 0.5, 3))
# on observe des valeurs proches de 1.708, 0.854, 0.427, 0.171

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7 · Exercice 8

À retenir.

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ , $E(aX + b) = aE(X) + b$ : toujours vrai.
$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ si $X$ et $Y$ sont indépendantes ; $V(aX + b) = a^2V(X)$ .
$\mathcal{B}(n, p)$ = somme de $n$ Bernoulli indépendantes : $E = np$ , $V = np(1 - p)$ .
Échantillon : $E(S_n) = n\mu$ , $V(S_n) = nV$ ; $E(M_n) = \mu$ , $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ .