Fonction logarithme népérien

Ce que tu sais déjà. Tu connais la fonction exponentielle et ses propriétés (Première — Fonction exponentielle), le théorème des valeurs intermédiaires (Limites, continuité et équations f(x) = k) et les suites géométriques (Suites et modèles discrets). Le logarithme « défait » l’exponentielle et transforme les produits en sommes. Thème d’étude associé : « Approche historique de la fonction logarithme ».

1. Définition

Propriété. Pour tout réel $a > 0$, l’équation $e^x = a$ admet une unique solution réelle.

Justification. $\exp$ est continue, strictement croissante sur $\mathbb{R}$, de limite $0$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$ : par le théorème des valeurs intermédiaires, elle prend une et une seule fois chaque valeur $a > 0$.

Définition. Cette solution est le logarithme népérien de $a$, noté $\ln a$. La fonction $\ln$, définie sur $]0\,;\,+\infty[$, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Conséquences.

• Pour $a > 0$ et $x$ réel : $e^x = a \iff x = \ln a$.
• $e^{\ln a} = a$ pour $a > 0$ ; $\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$.
• $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Relation fonctionnelle

Théorème. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.

Conséquences. Pour $a > 0$, $b > 0$ et $n$ entier : $\ln\dfrac ab = \ln a - \ln b$ ; $\ln(a^n) = n\ln a$ ; $\ln\sqrt a = \dfrac12\ln a$.

Exemples. $\ln 24 = \ln(2^3 \times 3) = 3\ln 2 + \ln 3$. $\ln\dfrac{1}{8} = -3\ln 2$. $\ln(e^3) - \ln\sqrt e = 3 - \dfrac12 = \dfrac52$.

Piège. $\ln(a + b)$ ne se simplifie pas : $\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Étude de la fonction ln

Propriété. $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $(\ln x)' = \dfrac1x$.

Conséquences.

• $\dfrac1x > 0$ : $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ ; donc $\ln a < \ln b \iff a < b$, et $\ln a = \ln b \iff a = b$.
• Signe : $\ln x < 0$ pour $0 < x < 1$, $\ln 1 = 0$, $\ln x > 0$ pour $x > 1$.
• $(\ln)''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$ : $\ln$ est concave.
• Limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\ln x = -\infty$ (asymptote verticale : l’axe des ordonnées) et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\ln x = +\infty$, mais très lentement : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x} = 0$ (admis).

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Dérivée de ln(u)

Propriété. Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors $$\left(\ln u\right)' = \frac{u'}{u}.$$

Exemples. $\left(\ln(x^2 + 1)\right)' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ ; $\left(\ln(3x - 6)\right)' = \dfrac{3}{3x - 6} = \dfrac{1}{x - 2}$ sur $]2\,;\,+\infty[$ ; $(x\ln x)' = \ln x + 1$.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Équations, inéquations et seuils

Problèmes de seuil. Pour résoudre $q^n > A$ ou $q^n < A$ ($q > 0$), on utilise $\ln(q^n) = n\ln q$ et on divise par $\ln q$ en tenant compte de son signe ($\ln q < 0$ si $q < 1$).

Exemple. La population d’une espèce protégée ($1\,200$ individus) augmente de $4\,\%$ par an. Quand dépassera-t-elle $2\,000$ individus ? $1\,200 \times 1{,}04^n > 2\,000 \iff 1{,}04^n > \dfrac53 \iff n\ln 1{,}04 > \ln\dfrac53 \iff n > \dfrac{\ln(5/3)}{\ln 1{,}04} \approx 13{,}02$. Au bout de $14$ ans.

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

6. Un peu d’histoire : Neper et Briggs

Au début du XVIIᵉ siècle, les astronomes et les navigateurs passaient des jours à multiplier de grands nombres. John Napier (Neper, 1614) eut l’idée de mettre en correspondance une suite géométrique (multiplications) et une suite arithmétique (additions) : pour multiplier deux nombres de la première ligne, il suffit d’additionner les nombres correspondants de la seconde ligne. C’est exactement la propriété $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.

Algorithme de Briggs. En extrayant $k$ fois la racine carrée d’un nombre $a > 0$, on obtient un nombre très proche de $1$ ; or $\ln(1 + h) \approx h$ pour $h$ petit. D’où $\ln a \approx 2^k\left(a^{1/2^k} - 1\right)$.

from math import sqrt

def briggs(a, k):
    for i in range(k):
        a = sqrt(a)
    return 2**k * (a - 1)

print(briggs(10, 25))   # 2.30258... (ln 10 ≈ 2,302585)

Logarithme décimal. $\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}$ vérifie $\log(10^n) = n$ : il est utilisé pour les échelles de pH, les décibels ou la magnitude des séismes.

→ S’entraîner : Exercice 7

À retenir.

• $e^x = a \iff x = \ln a$ ($a > 0$) ; $e^{\ln a} = a$ ; $\ln(e^x) = x$ ; $\ln 1 = 0$ ; $\ln e = 1$.
• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln\dfrac ab = \ln a - \ln b$ ; $\ln(a^n) = n\ln a$.
• $(\ln x)' = \dfrac1x$ ; $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ ; $\ln$ strictement croissante, concave ; $\ln x \to -\infty$ en $0^+$, $+\infty$ en $+\infty$.
• Seuil : $q^n > A \iff n\ln q > \ln A$, attention au signe de $\ln q$.