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Terminale

Fonction logarithme népérien — Exercices d'application

1. Définition

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Exercice 1 — ⭐

  1. Calcule sans calculatrice : ln⁡(e5)\ln(e^5) ; eln⁡3e^{\ln 3} ; ln⁡(1e2)\ln\left(\dfrac{1}{e^2}\right) ; e−ln⁡4e^{-\ln 4}.
  2. Résous dans R\mathbb{R} : ex=12e^x = 12 ; ex=−1e^{x} = -1 ; ln⁡x=3\ln x = 3 ; ln⁡x=−1\ln x = -1.
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  1. 55 ; 33 ; −2-2 ; 1eln⁡4=14\dfrac{1}{e^{\ln 4}} = \dfrac14.
  2. x=ln⁡12x = \ln 12 ; aucune solution (ex>0e^x > 0) ; x=e3x = e^3 ; x=e−1x = e^{-1}.

2. Relation fonctionnelle

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Exercice 2 — ⭐⭐

  1. Exprime en fonction de ln⁡2\ln 2 et ln⁡5\ln 5 : ln⁡100\ln 100 ; ln⁡0,4\ln 0{,}4 ; ln⁡20\ln\sqrt{20}.
  2. Simplifie A=ln⁡(e2×3)−ln⁡3A = \ln(e^2 \times 3) - \ln 3 et B=2ln⁡6−ln⁡4−ln⁡9B = 2\ln 6 - \ln 4 - \ln 9.
  3. Un son de puissance PP a un niveau sonore L=10log⁡(PP0)L = 10\log\left(\dfrac{P}{P_0}\right) décibels, où log⁡\log est le logarithme décimal (§ 6 du cours). De combien de décibels le niveau augmente-t-il quand la puissance est multipliée par 100100 ?
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  1. ln⁡100=ln⁡(22×52)=2ln⁡2+2ln⁡5\ln 100 = \ln(2^2 \times 5^2) = 2\ln 2 + 2\ln 5 ; ln⁡0,4=ln⁡25=ln⁡2−ln⁡5\ln 0{,}4 = \ln\dfrac25 = \ln 2 - \ln 5 ; ln⁡20=12(2ln⁡2+ln⁡5)=ln⁡2+12ln⁡5\ln\sqrt{20} = \dfrac12(2\ln 2 + \ln 5) = \ln 2 + \dfrac12\ln 5.
  2. A=2+ln⁡3−ln⁡3=2A = 2 + \ln 3 - \ln 3 = 2 ; B=ln⁡36−ln⁡36=0B = \ln 36 - \ln 36 = 0.
  3. 10log⁡(100PP0)=10(log⁡100+log⁡PP0)=20+L10\log\left(\dfrac{100P}{P_0}\right) = 10\left(\log 100 + \log\dfrac{P}{P_0}\right) = 20 + L : le niveau augmente de 2020 dB.

3. Étude de la fonction ln

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Exercice 3 — ⭐⭐

Soit f(x)=x−ln⁡xf(x) = x - \ln x sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  1. Calcule f′(x)f'(x) et étudie les variations de ff.
  2. En déduire que pour tout x>0x > 0, ln⁡x⩽x−1\ln x \leqslant x - 1.
  3. Donne l’équation de la tangente à la courbe de ln⁡\ln en 11 et interprète le résultat de la question 2.
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  1. f′(x)=1−1x=x−1xf'(x) = 1 - \dfrac1x = \dfrac{x - 1}{x}, du signe de x−1x - 1 : ff décroît sur ]0 ; 1]]0\,;\,1] et croît sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[ ; minimum f(1)=1f(1) = 1.
  2. f(x)⩾1f(x) \geqslant 1, soit x−ln⁡x⩾1x - \ln x \geqslant 1 : ln⁡x⩽x−1\ln x \leqslant x - 1.
  3. y=11(x−1)+ln⁡1=x−1y = \dfrac11(x - 1) + \ln 1 = x - 1. La courbe de ln⁡\ln (concave) est sous sa tangente en 11.

4. Dérivée de ln(u)

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Exercice 4 — ⭐⭐

Dérive les fonctions suivantes sur l’intervalle indiqué.

  1. f(x)=ln⁡(5x+2)f(x) = \ln(5x + 2) sur ]−25 ; +∞[\left]-\dfrac25\,;\,+\infty\right[
  2. g(x)=ln⁡(x2+4)g(x) = \ln(x^2 + 4) sur R\mathbb{R}
  3. h(x)=x2ln⁡xh(x) = x^2\ln x sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[
  4. k(x)=ln⁡(ex+1)k(x) = \ln(e^x + 1) sur R\mathbb{R}
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  1. f′(x)=55x+2f'(x) = \dfrac{5}{5x + 2}.
  2. g′(x)=2xx2+4g'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 4}.
  3. h′(x)=2xln⁡x+x2×1x=2xln⁡x+xh'(x) = 2x\ln x + x^2 \times \dfrac1x = 2x\ln x + x.
  4. k′(x)=exex+1k'(x) = \dfrac{e^x}{e^x + 1}.

5. Équations, inéquations et seuils

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Exercice 5 — ⭐⭐

Résous dans R\mathbb{R} (en précisant les conditions d’existence).

  1. e3x−2=5e^{3x - 2} = 5
  2. 3e−x+1=73e^{-x} + 1 = 7
  3. ln⁡(2x−1)=ln⁡(x+4)\ln(2x - 1) = \ln(x + 4)
  4. e−0,2x<0,5e^{-0{,}2x} < 0{,}5
  5. ln⁡(x)+ln⁡(x+2)=ln⁡8\ln(x) + \ln(x + 2) = \ln 8
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  1. 3x−2=ln⁡53x - 2 = \ln 5, x=2+ln⁡53x = \dfrac{2 + \ln 5}{3}.
  2. e−x=2  ⟺  −x=ln⁡2  ⟺  x=−ln⁡2e^{-x} = 2 \iff -x = \ln 2 \iff x = -\ln 2.
  3. Conditions : x>12x > \dfrac12. 2x−1=x+4  ⟺  x=52x - 1 = x + 4 \iff x = 5, qui convient.
  4. −0,2x<ln⁡0,5  ⟺  x>ln⁡0,5−0,2=5ln⁡2≈3,47-0{,}2x < \ln 0{,}5 \iff x > \dfrac{\ln 0{,}5}{-0{,}2} = 5\ln 2 \approx 3{,}47 (on divise par −0,2<0-0{,}2 < 0).
  5. Conditions : x>0x > 0. ln⁡(x(x+2))=ln⁡8  ⟺  x2+2x−8=0  ⟺  x=2\ln(x(x + 2)) = \ln 8 \iff x^2 + 2x - 8 = 0 \iff x = 2 ou x=−4x = -4. Seul x=2x = 2 convient.

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Datation au carbone 14. La proportion de carbone 14 restant dans un organisme mort depuis tt années est p(t)=e−λtp(t) = e^{-\lambda t}, avec λ=ln⁡25 730\lambda = \dfrac{\ln 2}{5\,730}.

  1. Vérifie que p(5 730)=12p(5\,730) = \dfrac12. Que représente 5 7305\,730 ans ?
  2. Un fragment d’os contient 30 %30\,\% de son carbone 14 initial. Estime son âge.
  3. À partir de quel âge reste-t-il moins de 1 %1\,\% du carbone 14 initial ?
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  1. p(5 730)=e−ln⁡2=12p(5\,730) = e^{-\ln 2} = \dfrac12 : c’est la demi-vie.
  2. e−λt=0,3  ⟺  t=−ln⁡0,3λ=−5 730ln⁡0,3ln⁡2≈9 953e^{-\lambda t} = 0{,}3 \iff t = -\dfrac{\ln 0{,}3}{\lambda} = -\dfrac{5\,730\ln 0{,}3}{\ln 2} \approx 9\,953 ans, soit environ 10 00010\,000 ans.
  3. e−λt<0,01  ⟺  t>−5 730ln⁡0,01ln⁡2≈38 069e^{-\lambda t} < 0{,}01 \iff t > -\dfrac{5\,730\ln 0{,}01}{\ln 2} \approx 38\,069 ans.

6. Un peu d’histoire : Neper et Briggs

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Exercice 7 — ⭐⭐

  1. En utilisant la figure du cours, calcule 16×6416 \times 64 en n’effectuant qu’une addition.
  2. Modifie la fonction briggs pour qu’elle renvoie aussi le nombre de racines extraites nécessaires pour que deux approximations successives diffèrent de moins de 10−610^{-6}.
  3. Le pH d’une solution est pH=−log⁡[H3O+]\text{pH} = -\log[\text{H}_3\text{O}^+]. Si la concentration en ions H3O+\text{H}_3\text{O}^+ est divisée par 1010, comment varie le pH ?
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  1. 1616 correspond à 44, 6464 à 66 ; 4+6=104 + 6 = 10, qui correspond à 210=1 0242^{10} = 1\,024. Donc 16×64=1 02416 \times 64 = 1\,024.
  2. from math import sqrt

def briggs_precision(a, eps):
    k, ancien = 0, a - 1
    while True:
        a = sqrt(a)
        k += 1
        nouveau = 2**k * (a - 1)
        if abs(nouveau - ancien) < eps:
            return nouveau, k
        ancien = nouveau

print(briggs_precision(10, 1e-6))
  3. −log⁡c10=−log⁡c+log⁡10=pH+1-\log\dfrac{c}{10} = -\log c + \log 10 = \text{pH} + 1 : le pH augmente de 11.