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Terminale⏱ 1 heure

Fonction logarithme népérien — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

  1. ln⁡1\ln 1 ?
  2. ln⁡(e−3)\ln(e^{-3}) ?
  3. Écris ln⁡27\ln 27 en fonction de ln⁡3\ln 3.
  4. Résous ex=2e^x = 2.
  5. Dérive x↦ln⁡(4x)x \mapsto \ln(4x).
  6. Signe de ln⁡0,7\ln 0{,}7 ?
  7. lim⁡x→0+ln⁡x\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\ln x ?
  8. Dérive x↦ln⁡(x2+3)x \mapsto \ln(x^2 + 3).
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  1. 00.
  2. −3-3.
  3. 3ln⁡33\ln 3.
  4. x=ln⁡2x = \ln 2.
  5. 44x=1x\dfrac{4}{4x} = \dfrac1x.
  6. Négatif (0<0,7<10 < 0{,}7 < 1).
  7. −∞-\infty.
  8. 2xx2+3\dfrac{2x}{x^2 + 3}.

Exercice 2 (4 points) — Démonstration

  1. En utilisant eln⁡x=xe^{\ln x} = x et en admettant que ln⁡\ln est dérivable, démontre que (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac1x. (2 points)
  2. Démontre que pour tous a>0a > 0 et b>0b > 0, ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b. (2 points)
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  1. Pour x>0x > 0, eln⁡x=xe^{\ln x} = x. On dérive : ln⁡′(x) eln⁡x=1\ln'(x)\,e^{\ln x} = 1, soit ln⁡′(x)×x=1\ln'(x) \times x = 1, d'où ln⁡′(x)=1x\ln'(x) = \dfrac1x.
  2. eln⁡(ab)=abe^{\ln(ab)} = ab et eln⁡a+ln⁡b=eln⁡a×eln⁡b=abe^{\ln a + \ln b} = e^{\ln a} \times e^{\ln b} = ab. Deux réels qui ont la même exponentielle sont égaux (exp⁡\exp est strictement croissante) : ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b.

Exercice 3 (5 points) — Équations et inéquations

  1. Résous e2x=9e^{2x} = 9. (1 point)
  2. Résous ln⁡(x−1)+ln⁡(x+1)=ln⁡3\ln(x - 1) + \ln(x + 1) = \ln 3. (2 points)
  3. Résous 5×0,8n<15 \times 0{,}8^n < 1 d'inconnue l'entier naturel nn. (2 points)
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  1. 2x=ln⁡9  ⟺  x=ln⁡92=ln⁡32x = \ln 9 \iff x = \dfrac{\ln 9}{2} = \ln 3.
  2. Conditions : x>1x > 1. ln⁡((x−1)(x+1))=ln⁡3  ⟺  x2−1=3  ⟺  x=2\ln\big((x - 1)(x + 1)\big) = \ln 3 \iff x^2 - 1 = 3 \iff x = 2 ou x=−2x = -2. Seul x=2x = 2 convient.
  3. 0,8n<0,2  ⟺  nln⁡0,8<ln⁡0,2  ⟺  n>ln⁡0,2ln⁡0,8≈7,20{,}8^n < 0{,}2 \iff n\ln 0{,}8 < \ln 0{,}2 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}2}{\ln 0{,}8} \approx 7{,}2 (on divise par ln⁡0,8<0\ln 0{,}8 < 0). Donc n⩾8n \geqslant 8.

Exercice 4 (7 points) — Étude de fonction

Soit f(x)=ln⁡xxf(x) = \dfrac{\ln x}{x} sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  1. Montre que f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}. (2 points)
  2. Étudie le signe de f′(x)f'(x) et dresse le tableau de variations de ff (on admet que f→−∞f \to -\infty en 0+0^+ et f→0f \to 0 en +∞+\infty). (3 points)
  3. En déduire que pour tout x>0x > 0, ln⁡x⩽xe\ln x \leqslant \dfrac xe. (2 points)
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  1. f′(x)=1x×x−ln⁡x×1x2=1−ln⁡xx2f'(x) = \dfrac{\frac1x \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}.
  2. x2>0x^2 > 0 : f′(x)f'(x) est du signe de 1−ln⁡x1 - \ln x, positif pour x<ex < e et négatif pour x>ex > e. ff croît sur ]0 ; e]]0\,;\,e] (de −∞-\infty à f(e)=1ef(e) = \dfrac1e) puis décroît sur [e ; +∞[[e\,;\,+\infty[ (vers 00).
  3. Le maximum de ff est 1e\dfrac1e : pour tout x>0x > 0, ln⁡xx⩽1e\dfrac{\ln x}{x} \leqslant \dfrac1e, soit ln⁡x⩽xe\ln x \leqslant \dfrac xe (on multiplie par x>0x > 0).