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Lois à densité : loi uniforme et loi exponentielle — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Réponds directement (0,5 point par question).

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Soit $f(x) = \dfrac{3}{4}(2x - x^2)$ sur $[0\,;\,2]$ .

Vérifie que $f$ est une densité de probabilité sur $[0\,;\,2]$ . (2 points)
Soit $X$ de densité $f$ . Calcule $P(X \leqslant 0{,}5)$ . (1,5 point)
Calcule $E(X)$ . Était-ce prévisible (on pourra étudier la symétrie de la courbe de $f$ ) ? (1,5 point)

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Sur $[0\,;\,2]$ , $2x - x^2 = x(2 - x) \geqslant 0$ , donc $f \geqslant 0$ . $\displaystyle\int_0^2 \frac34(2x - x^2)\,dx = \frac34\left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac34\left(4 - \frac83\right) = 1$ .
$P(X \leqslant 0{,}5) = \dfrac34\left(0{,}25 - \dfrac{0{,}125}{3}\right) = \dfrac34 \times \dfrac{5}{24} = \dfrac{5}{32} \approx 0{,}156$ .
$E(X) = \displaystyle\int_0^2 \frac34(2x^2 - x^3)\,dx = \frac34\left[\frac{2x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_0^2 = \frac34\left(\frac{16}{3} - 4\right) = 1$ . C'était prévisible : la courbe de $f$ (parabole de sommet d'abscisse $1$ ) est symétrique par rapport à la droite $x = 1$ .

La durée de vie $D$ (en années) d'un disque dur suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}125$ .

Quelle est la durée de vie moyenne ? (1 point)
Calcule $P(D \leqslant 2)$ et $P(D > 10)$ (arrondis au millième). (2 points)
Détermine la durée $t$ telle que $P(D \leqslant t) = 0{,}5$ (arrondie au dixième). (2 points)
Un disque a déjà fonctionné $4$ ans. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore au moins $2$ ans ? Justifie. (2 points)

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$\dfrac{1}{0{,}125} = 8$ ans.
$P(D \leqslant 2) = 1 - e^{-0{,}25} \approx 0{,}221$ ; $P(D > 10) = e^{-1{,}25} \approx 0{,}287$ .
$1 - e^{-0{,}125t} = 0{,}5 \iff e^{-0{,}125t} = 0{,}5 \iff t = \dfrac{\ln 2}{0{,}125} \approx 5{,}5$ ans.
Par absence de mémoire : $P_{(D > 4)}(D > 6) = P(D > 2) = e^{-0{,}25} \approx 0{,}779$ .

Soit $X$ de loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ .

Démontre que pour tout $t \geqslant 0$ , $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ . (2 points)
En déduire que pour tous $t, h \geqslant 0$ , $P_{(X > t)}(X > t + h) = P(X > h)$ . (2 points)

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$P(X > t) = 1 - P(X \leqslant t) = 1 - \displaystyle\int_0^t \lambda e^{-\lambda x}\,dx = 1 - \left[-e^{-\lambda x}\right]_0^t = 1 - (1 - e^{-\lambda t}) = e^{-\lambda t}$ .
$\{X > t + h\} \subset \{X > t\}$ , donc $P_{(X > t)}(X > t + h) = \dfrac{P(X > t + h)}{P(X > t)} = \dfrac{e^{-\lambda(t + h)}}{e^{-\lambda t}} = e^{-\lambda h} = P(X > h)$ .