Lois à densité : loi uniforme et loi exponentielle

Ce que tu sais déjà. Tu connais les lois discrètes (en particulier la loi géométrique et son absence de mémoire, Lois discrètes) et le calcul intégral (Calcul intégral). Quand une variable aléatoire peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle (une durée, une taille, un instant d’arrivée), on remplace les « bâtons » par une courbe de densité. Thème d’étude associé : « Temps d’attente ».

1. Densité de probabilité

Définition. Une densité de probabilité sur un intervalle $I$ est une fonction $f$ continue, positive sur $I$, telle que l’aire totale sous sa courbe vaut $1$ : $\displaystyle\int_I f(x)\,dx = 1$.

Une variable aléatoire $X$ à densité $f$ vérifie, pour tout intervalle $[a\,;\,b]$ contenu dans $I$ : $$P(a \leqslant X \leqslant b) = \int_a^b f(x)\,dx.$$ La probabilité est une aire.

Conséquences. $P(X = a) = 0$ pour tout $a$ ; donc $P(a \leqslant X \leqslant b) = P(a < X < b)$ (les inégalités peuvent être larges ou strictes).

Fonction de répartition. $F(x) = P(X \leqslant x)$ ; elle est croissante, et $P(a < X \leqslant b) = F(b) - F(a)$.

Exemple. $f(x) = 2x$ sur $[0\,;\,1]$ est une densité : $f \geqslant 0$ et $\displaystyle\int_0^1 2x\,dx = [x^2]_0^1 = 1$. Alors $P(X \leqslant 0{,}5) = [x^2]_0^{0{,}5} = 0{,}25$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Espérance et variance

Définitions. Pour une variable aléatoire $X$ de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$ : $$E(X) = \int_a^b xf(x)\,dx, \qquad V(X) = \int_a^b \big(x - E(X)\big)^2f(x)\,dx, \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.$$ C’est l’analogue continu de $\sum x_ip_i$ : la somme devient une intégrale.

Exemple. Pour $f(x) = 2x$ sur $[0\,;\,1]$ : $E(X) = \displaystyle\int_0^1 2x^2\,dx = \frac23$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Loi uniforme sur un intervalle

Définition. $X$ suit la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$ ($a < b$) si sa densité est constante sur $[a\,;\,b]$ : $f(x) = \dfrac{1}{b - a}$.

Propriétés. Pour $[c\,;\,d] \subset [a\,;\,b]$ : $$P(c \leqslant X \leqslant d) = \frac{d - c}{b - a}, \qquad E(X) = \frac{a + b}{2}, \qquad V(X) = \frac{(b - a)^2}{12}.$$ La probabilité est proportionnelle à la longueur de l’intervalle.

Exemple. Un bus passe toutes les $20$ minutes ; un voyageur arrive au hasard. Son temps d’attente $X$ suit la loi uniforme sur $[0\,;\,20]$ : $P(5 \leqslant X \leqslant 12) = \dfrac{7}{20} = 0{,}35$ ; $E(X) = 10$ min.

Cas $[0\,;\,1]$. La fonction random() de Python simule la loi uniforme sur $[0\,;\,1]$ ; a + (b - a) * random() simule la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Loi exponentielle

Définition. Soit $\lambda > 0$. $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ si sa densité sur $[0\,;\,+\infty[$ est $$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}.$$

Propriétés. Pour tous $t \geqslant 0$ et $0 \leqslant a \leqslant b$ : $$P(X \leqslant t) = 1 - e^{-\lambda t}, \qquad P(X > t) = e^{-\lambda t}, \qquad P(a \leqslant X \leqslant b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}.$$

Justification. Une primitive de $\lambda e^{-\lambda x}$ est $-e^{-\lambda x}$, donc $\displaystyle\int_0^t \lambda e^{-\lambda x}\,dx = 1 - e^{-\lambda t}$ ; cette quantité tend vers $1$ quand $t \to +\infty$ : l’aire totale vaut bien $1$.

Espérance. $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ (on peut vérifier que $x \mapsto -\left(x + \dfrac1\lambda\right)e^{-\lambda x}$ est une primitive de $x\lambda e^{-\lambda x}$).

Absence de mémoire. Pour tous $t, h \geqslant 0$ : $P_{(X > t)}(X > t + h) = P(X > h)$. En effet $\dfrac{e^{-\lambda(t + h)}}{e^{-\lambda t}} = e^{-\lambda h}$. Un composant qui a déjà fonctionné $t$ heures n’est pas « usé » : c’est le modèle des durées de vie sans vieillissement (désintégration radioactive, pannes aléatoires de composants électroniques).

Exemple. La durée de vie (en années) d’un composant suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}2$.

• Durée de vie moyenne : $\dfrac{1}{0{,}2} = 5$ ans.
• $P(X > 3) = e^{-0{,}6} \approx 0{,}549$.
• Durée $t$ telle que $P(X \leqslant t) = 0{,}5$ (demi-vie) : $e^{-0{,}2t} = 0{,}5 \iff t = \dfrac{\ln 2}{0{,}2} \approx 3{,}47$ ans.

Simulation. Si $U$ suit la loi uniforme sur $]0\,;\,1]$, alors $-\dfrac{\ln U}{\lambda}$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (admis).

from random import random
from math import log

def exponentielle(lam):
    return -log(1 - random()) / lam      # 1 - random() est dans ]0 ; 1]

tirages = [exponentielle(0.2) for k in range(100000)]
print(sum(tirages) / len(tirages))       # proche de 5

→ S’entraîner : Exercice 4 · Exercice 5 · Exercice 6

À retenir.

• Densité $f \geqslant 0$, d’intégrale totale $1$ ; $P(a \leqslant X \leqslant b) = \displaystyle\int_a^b f$ ; $P(X = a) = 0$.
• $E(X) = \displaystyle\int xf(x)\,dx$.
• Uniforme sur $[a\,;\,b]$ : $f = \dfrac{1}{b - a}$, probabilité = longueur relative, $E = \dfrac{a + b}{2}$.
• Exponentielle : $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$, $P(X > t) = e^{-\lambda t}$, $E = \dfrac1\lambda$, absence de mémoire.