Terminale

Lois à densité : loi uniforme et loi exponentielle — Exercices d'application

1. Densité de probabilité

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Exercice 1 — ⭐⭐

Montre que $f(x) = \dfrac38x^2$ est une densité de probabilité sur $[0\,;\,2]$ .
Soit $X$ de densité $f$ . Calcule $P(X \leqslant 1)$ , $P(1 \leqslant X \leqslant 2)$ et $P(X = 1{,}5)$ .
Pour quelle valeur de $k$ la fonction $g(x) = k(4 - x)$ est-elle une densité sur $[0\,;\,4]$ ?

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$f \geqslant 0$ et $\displaystyle\int_0^2 \dfrac38x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{8}\right]_0^2 = 1$ .
$P(X \leqslant 1) = \left[\dfrac{x^3}{8}\right]_0^1 = \dfrac18$ ; $P(1 \leqslant X \leqslant 2) = 1 - \dfrac18 = \dfrac78$ ; $P(X = 1{,}5) = 0$ .
$\displaystyle\int_0^4 k(4 - x)\,dx = k\left[4x - \dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8k = 1$ : $k = \dfrac18$ (et alors $g \geqslant 0$ sur $[0\,;\,4]$ ).

2. Espérance et variance

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Exercice 2 — ⭐⭐

Calcule l’espérance de la variable $X$ de l’exercice 1 (densité $\dfrac38x^2$ sur $[0\,;\,2]$ ).
Calcule l’espérance d’une variable de densité $g(x) = \dfrac18(4 - x)$ sur $[0\,;\,4]$ .

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$E(X) = \displaystyle\int_0^2 \dfrac38x^3\,dx = \left[\dfrac{3x^4}{32}\right]_0^2 = \dfrac{48}{32} = 1{,}5$ .
$\displaystyle\int_0^4 \dfrac18(4x - x^2)\,dx = \dfrac18\left[2x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^4 = \dfrac18\left(32 - \dfrac{64}{3}\right) = \dfrac43$ .

3. Loi uniforme sur un intervalle

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Exercice 3 — ⭐

Un métro passe toutes les $6$ minutes. Un voyageur arrive à un instant aléatoire ; son temps d’attente $T$ (en minutes) suit la loi uniforme sur $[0\,;\,6]$ .

Donne la densité de $T$ .
Calcule $P(T \leqslant 2)$ , $P(T > 4{,}5)$ et $P(1 \leqslant T \leqslant 3)$ .
Quel est le temps d’attente moyen ? son écart type ?

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$f(t) = \dfrac16$ sur $[0\,;\,6]$ .
$\dfrac26 = \dfrac13$ ; $\dfrac{1{,}5}{6} = 0{,}25$ ; $\dfrac26 = \dfrac13$ .
$E(T) = 3$ min ; $V(T) = \dfrac{36}{12} = 3$ , $\sigma = \sqrt3 \approx 1{,}73$ min.

4. Loi exponentielle

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Exercice 4 — ⭐⭐

Le temps (en minutes) entre deux appels reçus par un service client suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}25$ .

Quel est le temps moyen entre deux appels ?
Calcule la probabilité d’attendre plus de $4$ minutes, puis moins de $2$ minutes, puis entre $2$ et $6$ minutes.
Aucun appel n’est arrivé depuis $5$ minutes. Quelle est la probabilité d’attendre encore plus de $4$ minutes ?

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$\dfrac{1}{0{,}25} = 4$ min.
$P(X > 4) = e^{-1} \approx 0{,}368$ ; $P(X < 2) = 1 - e^{-0{,}5} \approx 0{,}393$ ; $P(2 \leqslant X \leqslant 6) = e^{-0{,}5} - e^{-1{,}5} \approx 0{,}383$ .
Absence de mémoire : $P(X > 4) = e^{-1} \approx 0{,}368$ .

Exercice 5 — ⭐⭐⭐

La durée de vie (en heures) d’une ampoule LED suit une loi exponentielle. Le fabricant annonce que $50\,\%$ des ampoules fonctionnent encore après $25\,000$ heures.

Détermine le paramètre $\lambda$ (valeur exacte puis arrondie).
Quelle est la durée de vie moyenne ?
Quelle est la probabilité qu’une ampoule dure plus de $50\,000$ heures ?

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$e^{-25\,000\lambda} = 0{,}5 \iff \lambda = \dfrac{\ln 2}{25\,000} \approx 2{,}77 \times 10^{-5}$ .
$\dfrac1\lambda = \dfrac{25\,000}{\ln 2} \approx 36\,067$ heures.
$e^{-50\,000\lambda} = e^{-2\ln 2} = \dfrac14$ .

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Paradoxe du bus. On simule en Python l’arrivée de bus dont les intervalles suivent la loi exponentielle de paramètre $0{,}1$ (un bus toutes les $10$ minutes en moyenne).

Utilise la fonction exponentielle du cours pour simuler $10\,000$ intervalles et vérifie que la moyenne est proche de $10$ .
Un voyageur arrive à un instant fixé. D’après l’absence de mémoire, quelle est la loi de son temps d’attente ? Quel est son temps d’attente moyen ? Commente (on s’attendrait « naïvement » à $5$ minutes).

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from random import random
from math import log

def exponentielle(lam):
    return -log(1 - random()) / lam

intervalles = [exponentielle(0.1) for k in range(10000)]
print(sum(intervalles) / len(intervalles))   # proche de 10

Par absence de mémoire, le temps restant jusqu’au prochain bus suit encore la loi exponentielle de paramètre $0{,}1$ : l’attente moyenne est de $10$ minutes, et non $5$ . Le voyageur a davantage de chances d’arriver pendant un long intervalle entre deux bus (« paradoxe de l’inspection »).