Terminale

Limites de fonctions — Exercices d'application

1. Limite en l’infini

Exercice 1 — ⭐

Détermine les limites en $+\infty$ et en $-\infty$ de chaque fonction, et précise les éventuelles asymptotes horizontales.

$f(x) = 3 - \dfrac{2}{x^2}$ (pour $x \neq 0$ )
$g(x) = -2x^3 + 5$
$h(x) = 1 - 4e^x$

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$\dfrac2{x^2} \to 0$ en $\pm\infty$ , donc $\lim f = 3$ en $+\infty$ et en $-\infty$ : la droite $y = 3$ est asymptote horizontale des deux côtés.
En $+\infty$ : $x^3 \to +\infty$ donc $g(x) \to -\infty$ . En $-\infty$ : $x^3 \to -\infty$ donc $g(x) \to +\infty$ . Pas d’asymptote horizontale.
En $+\infty$ : $e^x \to +\infty$ donc $h(x) \to -\infty$ . En $-\infty$ : $e^x \to 0$ donc $h(x) \to 1$ : asymptote horizontale $y = 1$ en $-\infty$ .

2. Limite en un réel

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Exercice 2 — ⭐⭐

Soit $f(x) = \dfrac{x + 2}{x - 3}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ . Détermine les limites de $f$ en $3$ à gauche et à droite, puis en $\pm\infty$ . Donne les équations des asymptotes.
Soit $g(x) = \dfrac{-1}{(x - 1)^2}$ . Détermine $\displaystyle\lim_{x \to 1} g(x)$ et interprète graphiquement.

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En $3$ : le numérateur tend vers $5 > 0$ . Si $x > 3$ , $x - 3 > 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$ ; si $x < 3$ , $x - 3 < 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$ . En $\pm\infty$ : $f(x)$ a la même limite que $\dfrac{x}{x} = 1$ . Asymptotes : $x = 3$ (verticale) et $y = 1$ (horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$ ).
$(x - 1)^2 \to 0$ en restant positif, et le numérateur vaut $-1$ : $\displaystyle\lim_{x \to 1} g(x) = -\infty$ (des deux côtés). La droite $x = 1$ est asymptote verticale ; la courbe « plonge » vers le bas de part et d’autre.

3. Opérations et formes indéterminées

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Exercice 3 — ⭐⭐

Détermine les limites suivantes.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - x}{x^2 + 1}$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 1}{x - 2x^2}$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt x\right)$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt x)$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{1}{x}}$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} e^{-\frac{1}{x}}$

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Quotient des termes de plus haut degré : $\dfrac{2x^2}{x^2} = 2$ . Limite $2$ .
$\dfrac{x^3}{-2x^2} = -\dfrac x2 \to +\infty$ quand $x \to -\infty$ . Limite $+\infty$ .
FI « $\infty - \infty$ ». Quantité conjuguée : $\sqrt{x+1} - \sqrt x = \dfrac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt x} \to 0$ .
FI. $x - \sqrt x = \sqrt x\left(\sqrt x - 1\right)$ : produit de deux facteurs qui tendent vers $+\infty$ . Limite $+\infty$ .
Composées : $\dfrac1x \to 0$ et $e^X \to e^0 = 1$ , donc la première limite vaut $1$ . Quand $x \to 0^+$ , $-\dfrac1x \to -\infty$ et $e^X \to 0$ : la seconde vaut $0$ .

4. Limites et comparaison

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Exercice 4 — ⭐⭐

On rappelle que, pour tout réel $x$ , $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ .

Détermine $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^2 + 3\cos x)$ .
Détermine $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \cos x}{x}$ .
Détermine $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (2x - \cos x)$ .

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$x^2 + 3\cos x \geqslant x^2 - 3$ , et $x^2 - 3 \to +\infty$ : par comparaison, la limite est $+\infty$ .
$1 \leqslant 2 + \cos x \leqslant 3$ , donc pour $x > 0$ : $\dfrac1x \leqslant \dfrac{2 + \cos x}{x} \leqslant \dfrac3x$ . Les deux encadrantes tendent vers $0$ : par les gendarmes, la limite est $0$ .
$2x - \cos x \leqslant 2x + 1$ , et $2x + 1 \to -\infty$ en $-\infty$ : la limite est $-\infty$ .

5. Limites de l’exponentielle et croissances comparées

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Exercice 5 — ⭐⭐

Détermine les limites suivantes.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x}$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + 1}{e^x - 1}$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (e^{2x} - e^x)$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x}$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (e^x - 3x)$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (x + 2)e^x$

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$X = -x \to -\infty$ et $e^X \to 0$ : limite $0$ .
FI « $\frac\infty\infty$ ». On factorise par $e^x$ : $\dfrac{1 + e^{-x}}{1 - e^{-x}} \to \dfrac{1}{1} = 1$ .
FI. $e^{2x} - e^x = e^x(e^x - 1)$ : produit de deux facteurs qui tendent vers $+\infty$ . Limite $+\infty$ .
$x^2 e^{-x} = \dfrac{x^2}{e^x} = 1 \Big/ \dfrac{e^x}{x^2}$ ; par croissance comparée $\dfrac{e^x}{x^2} \to +\infty$ , donc la limite est $0$ .
FI. $e^x - 3x = x\left(\dfrac{e^x}{x} - 3\right)$ : $x \to +\infty$ et la parenthèse $\to +\infty$ . Limite $+\infty$ .
$(x + 2)e^x = xe^x + 2e^x$ ; $xe^x \to 0$ (croissance comparée) et $2e^x \to 0$ . Limite $0$ .

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Soit $f(x) = (x - 1)e^x$ sur $\mathbb{R}$ .

Détermine les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ . La courbe admet-elle une asymptote ?
Calcule $f'(x)$ et dresse le tableau de variations complet de $f$ (avec les limites).
Combien l’équation $f(x) = 2$ a-t-elle de solutions ? (Réponse argumentée à partir du tableau.)

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En $-\infty$ : $f(x) = xe^x - e^x$ ; $xe^x \to 0$ (croissance comparée) et $e^x \to 0$ , donc $\lim f = 0$ : asymptote horizontale $y = 0$ en $-\infty$ . En $+\infty$ : $x - 1 \to +\infty$ et $e^x \to +\infty$ , donc $\lim f = +\infty$ .
$f'(x) = e^x + (x - 1)e^x = xe^x$ , du signe de $x$ . $f$ décroît de $0$ (limite en $-\infty$ ) jusqu’à $f(0) = -1$ , puis croît de $-1$ vers $+\infty$ .
Sur $]-\infty\,;\,0]$ , $f(x) < 0$ : pas de solution. Sur $[0\,;\,+\infty[$ , $f$ croît strictement de $-1$ à $+\infty$ et passe une seule fois par la valeur $2$ (on le justifiera rigoureusement avec le théorème des valeurs intermédiaires) : une solution.

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

On sert un café à $90\,°$ C dans une pièce à $20\,°$ C. Sa température (en °C) après $t$ minutes est modélisée par $T(t) = 20 + 70e^{-0{,}1t}$ , pour $t \geqslant 0$ .

Vérifie que $T(0) = 90$ et étudie les variations de $T$ .
Détermine $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} T(t)$ et interprète graphiquement et concrètement.
À la calculatrice, détermine à partir de quelle minute (entière) le café est à moins de $50\,°$ C.

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$T(0) = 20 + 70 = 90$ . $T'(t) = 70 \times (-0{,}1)e^{-0{,}1t} = -7e^{-0{,}1t} < 0$ : $T$ est strictement décroissante.
$-0{,}1t \to -\infty$ donc $e^{-0{,}1t} \to 0$ et $\lim T = 20$ . La droite $y = 20$ est asymptote horizontale : le café refroidit en se rapprochant de la température de la pièce, sans jamais l’atteindre dans ce modèle.
$T(8) \approx 51{,}5$ et $T(9) \approx 48{,}5$ : à partir de la $9^\text{e}$ minute.

Exercice 8 — ⭐⭐⭐

On veut démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty$ sans utiliser le cas général du cours.

Soit $\varphi(x) = e^x - \dfrac{x^3}{6}$ sur $[0\,;\,+\infty[$ . On admet que $e^x \geqslant \dfrac{x^2}{2}$ pour $x \geqslant 0$ . Montre que $\varphi$ est croissante, puis que $e^x \geqslant \dfrac{x^3}{6}$ pour tout $x \geqslant 0$ .
Conclus.

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$\varphi'(x) = e^x - \dfrac{x^2}{2} \geqslant 0$ sur $[0\,;\,+\infty[$ : $\varphi$ est croissante, donc $\varphi(x) \geqslant \varphi(0) = 1 > 0$ , d’où $e^x > \dfrac{x^3}{6}$ .
Pour $x > 0$ : $\dfrac{e^x}{x^2} > \dfrac{x}{6}$ et $\dfrac x6 \to +\infty$ . Par comparaison, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty$ .