Limites de fonctions

Ce que tu sais déjà. Tu sais calculer des limites de suites : opérations, formes indéterminées, comparaison (Terminale — Limites de suites). Tu connais les fonctions de référence et la fonction exponentielle (Première — Fonction exponentielle). Une suite n’a de limite qu’en $+\infty$ ; une fonction peut avoir une limite en $+\infty$, en $-\infty$ et en un réel.

1. Limite en l’infini

Définitions. Soit $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $]a\,;\,+\infty[$.

• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ si tout intervalle $]A\,;\,+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est assez grand.
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est assez grand.

On définit de même les limites en $-\infty$.

Asymptote horizontale. Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (ou en $-\infty$), la droite d’équation $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ (ou en $-\infty$) : la courbe s’en rapproche autant qu’on veut.

Limites de référence.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Limite en un réel

Définition. Soit $f$ définie sur un intervalle ouvert de borne $a$ (sans être forcément définie en $a$). $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ si tout intervalle $]A\,;\,+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est assez proche de $a$. On définit de même une limite $-\infty$.

Limite à gauche, à droite. On note $\displaystyle\lim_{\substack{x \to a \\ x < a}} f(x)$ (ou $\lim_{x \to a^-}$) la limite quand $x$ tend vers $a$ en restant inférieur à $a$, et $\displaystyle\lim_{\substack{x \to a \\ x > a}} f(x)$ (ou $\lim_{x \to a^+}$) à droite.

Exemple. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac1x = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac1x = -\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac1{x^2} = +\infty$ (des deux côtés).

Asymptote verticale. Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ (même d’un seul côté), la droite d’équation $x = a$ est asymptote verticale à la courbe de $f$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Opérations et formes indéterminées

Les règles opératoires (somme, produit, quotient) sont les mêmes que pour les suites (voir les tableaux), en $+\infty$, en $-\infty$ ou en un réel. Les formes indéterminées sont les mêmes : « $\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\dfrac{\infty}{\infty}$ », « $\dfrac00$ ».

Propriété (polynômes et fractions rationnelles en l’infini). En $+\infty$ ou en $-\infty$ :

• un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ;
• une fraction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré.

Exemples.

• $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 4x^2 + 1) = \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$.
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - x}{5x^2 + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{5x^2} = \frac25$.
• $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 1}{x - 3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to -\infty} x = -\infty$.

Justification. On factorise par le terme de plus haut degré : $x^3 - 4x^2 + 1 = x^3\left(1 - \dfrac4x + \dfrac1{x^3}\right)$ et la parenthèse tend vers $1$. Attention : cette règle ne vaut qu’en l’infini, jamais en un réel.

Limite d’une composée (admis). Si $\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = b$ et $\displaystyle\lim_{X \to b} v(X) = c$ ($a$, $b$, $c$ réels ou infinis), alors $\displaystyle\lim_{x \to a} v(u(x)) = c$.

Exemple. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2}$ : on pose $X = -x^2$ ; $X \to -\infty$ quand $x \to +\infty$, et $\displaystyle\lim_{X \to -\infty} e^X = 0$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Limites et comparaison

Théorèmes (admis). Soit $f$, $g$, $h$ trois fonctions définies au voisinage de $+\infty$ (mêmes énoncés en $-\infty$ ou en un réel).

• Comparaison. Si $f(x) \geqslant g(x)$ pour $x$ assez grand et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. (Et si $f(x) \leqslant g(x)$ avec $\lim g = -\infty$, alors $\lim f = -\infty$.)
• Gendarmes. Si $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ pour $x$ assez grand, et si $g$ et $h$ ont la même limite finie $\ell$ en $+\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$.

Exemples. Pour tout réel $x$, $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$.

• $f(x) = x + \cos x \geqslant x - 1$ et $\lim_{x \to +\infty} (x - 1) = +\infty$ : donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
• Pour $x > 0$, $-\dfrac1x \leqslant \dfrac{\cos x}{x} \leqslant \dfrac1x$ : par les gendarmes, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\cos x}{x} = 0$.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Limites de l’exponentielle et croissances comparées

Propriété. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.

Croissances comparées. Pour tout entier naturel $n$ :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0.$$

On retient : en l’infini, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance de $x$.

Nombre dérivé en 0. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ : c’est le taux de variation de $\exp$ entre $0$ et $x$, qui tend vers $\exp'(0) = e^0 = 1$.

Exemples.

• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2)$ est une FI : $e^x - x^2 = x^2\left(\dfrac{e^x}{x^2} - 1\right)$ et la parenthèse tend vers $+\infty$, donc la limite est $+\infty$.
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$ (inverse de $\frac{e^x}{x} \to +\infty$).

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6 · Exercice 7 · Exercice 8

À retenir.

• $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$ ⟺ asymptote horizontale $y = \ell$ ; $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ ⟺ asymptote verticale $x = a$.
• En $a$, quotient « $\dfrac{k}{0}$ » ($k \neq 0$) : limite infinie, signe donné par le signe du dénominateur.
• En l’infini, polynôme → terme de plus haut degré ; fraction rationnelle → quotient des termes de plus haut degré.
• $\lim_{+\infty} e^x = +\infty$, $\lim_{-\infty} e^x = 0$ ; $\dfrac{e^x}{x^n} \to +\infty$ en $+\infty$, $x^n e^x \to 0$ en $-\infty$.
• $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$.