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Limites de fonctions — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x$ ?
$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac1x$ ?
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 1}{x^2}$ ?
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3$ ?
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^5}{e^x}$ ?
Dérive $x \mapsto xe^x$ .
Simplifie $e^{2x} \times e^{-x}$ .
Si $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = -\infty$ , que peut-on dire de la droite $x = 2$ ?

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$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-x^4 + 3x^2 - 1)$ (1 point)
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{4x - 1}{2 - x}$ (1 point)
$\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \frac{x + 1}{2 - x}$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \frac{x + 1}{2 - x}$ (1,5 point)
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - x}{x}$ (1,5 point)

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Terme de plus haut degré : $-x^4 \to -\infty$ .
Quotient des termes de plus haut degré : $\dfrac{4x}{-x} = -4$ . Limite $-4$ .
Le numérateur tend vers $3 > 0$ . Si $x > 2$ , $2 - x < 0$ : limite $-\infty$ à droite. Si $x < 2$ , $2 - x > 0$ : limite $+\infty$ à gauche.
$\dfrac{e^x - x}{x} = \dfrac{e^x}{x} - 1 \to +\infty$ (croissance comparée).

Soit $g(x) = e^x - x$ . Étudie les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire que $e^x > x$ pour tout réel $x$ . (2 points)
En déduire $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x$ , en citant le théorème utilisé. (1 point)
En déduire $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x$ . (1 point)

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$g'(x) = e^x - 1$ . Comme $\exp$ est strictement croissante et $e^0 = 1$ : $g'(x) < 0$ si $x < 0$ , $g'(x) > 0$ si $x > 0$ . $g$ est décroissante puis croissante, de minimum $g(0) = 1 > 0$ . Donc $g(x) > 0$ , soit $e^x > x$ pour tout $x$ .
$e^x > x$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ : par le théorème de comparaison, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ .
$e^x = \dfrac1{e^{-x}}$ ; quand $x \to -\infty$ , $-x \to +\infty$ donc $e^{-x} \to +\infty$ (question 2 et composée) et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ .

Soit $f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 1}$ sur $]-1\,;\,+\infty[$ .

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En $-1^+$ : numérateur $\to 1 > 0$ , dénominateur $x + 1 \to 0^+$ : $\lim f = +\infty$ . En $+\infty$ : $\dfrac{2x}{x} = 2$ , $\lim f = 2$ .
Asymptote verticale $x = -1$ , asymptote horizontale $y = 2$ en $+\infty$ .

Soit $f(x) = e^x - x$ sur $\mathbb{R}$ (c'est la fonction $g$ de l'exercice 3).

Détermine $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ (pour la seconde, factorise par $x$ ). (2 points)
Dresse le tableau de variations complet de $f$ . (1 point)
Justifie que la courbe de $f$ est toujours au-dessus de la droite $y = 1$ , sauf en un point. (1 point)

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En $-\infty$ : $e^x \to 0$ et $-x \to +\infty$ : $\lim f = +\infty$ . En $+\infty$ : FI ; $f(x) = x\left(\dfrac{e^x}{x} - 1\right)$ avec $\dfrac{e^x}{x} \to +\infty$ , donc $\lim f = +\infty$ .
$f' = g'$ (exercice 3) : $f$ décroît de $+\infty$ à $f(0) = 1$ sur $]-\infty\,;\,0]$ , puis croît de $1$ à $+\infty$ sur $[0\,;\,+\infty[$ .
Le minimum de $f$ est $1$ , atteint uniquement en $0$ : pour $x \neq 0$ , $f(x) > 1$ . La courbe est au-dessus de la droite $y = 1$ et la touche seulement au point $(0\,;\,1)$ .