Suites numériques et modèles discrets

Ce que tu sais déjà. En Première, tu as étudié les suites, leurs variations et les suites arithmétiques et géométriques (Première — Suites : générer, représenter, variations, Première — Suites arithmétiques et géométriques). En maths complémentaires, les suites servent à modéliser des évolutions : capital, emprunt, population, médicament, refroidissement. Thèmes d’étude associés : « Modèles d’évolution », « Approche historique de la fonction logarithme ».

1. Modéliser par une suite

Une suite peut être définie :

• explicitement : $u_n = f(n)$ (par exemple $u_n = 500 \times 1{,}02^n$) ;
• par récurrence : on donne $u_0$ et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$.

Représenter une suite récurrente. Pour $u_{n+1} = f(u_n)$, on trace la courbe de $f$ et la droite $y = x$. On place $u_0$ sur l’axe des abscisses, on « monte » jusqu’à la courbe pour lire $u_1 = f(u_0)$, on « reporte » $u_1$ sur l’axe grâce à la droite $y = x$, et on recommence. Cette construction en « escalier » ou en « escargot » permet de conjecturer le comportement de la suite.

Exemple (médicament). Un patient reçoit chaque matin $2$ mL d’un médicament ; pendant la journée, l’organisme en élimine la moitié. En notant $u_n$ la quantité (en mL) présente juste après la $n$-ième prise ($u_0 = 2$) : $u_{n+1} = 0{,}5u_n + 2$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Notion de limite

Approche intuitive.

• La suite $(u_n)$ tend vers le réel $\ell$ si ses termes deviennent aussi proches de $\ell$ que l’on veut, à partir d’un certain rang. On note $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ ; la suite est convergente.
• La suite tend vers $+\infty$ si ses termes deviennent aussi grands que l’on veut à partir d’un certain rang (de même pour $-\infty$). Une suite qui ne converge pas est divergente (elle peut aussi n’avoir aucune limite, comme $(-1)^n$).

Exemples. $\dfrac1n \to 0$ ; $n^2 \to +\infty$ ; $\sqrt n \to +\infty$ ; $3 + \dfrac{2}{n} \to 3$.

Limite d’une suite géométrique de raison positive. Pour $q > 0$ :

Conséquence. Si $u_n = u_0q^n$ avec $u_0 > 0$ : la suite tend vers $0$ si $0 < q < 1$ et vers $+\infty$ si $q > 1$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Somme des termes d’une suite géométrique

Rappel (Première). Pour $q \neq 1$ : $1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

Propriété. Si $0 < q < 1$, alors $$\lim_{n \to +\infty}\left(1 + q + q^2 + \dots + q^n\right) = \frac{1}{1 - q}.$$

Exemples.

• $1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac18 + \dots$ tend vers $\dfrac{1}{1 - 0{,}5} = 2$ : on peut additionner une infinité de nombres et obtenir un résultat fini (le paradoxe d’Achille et de la tortue).
• $0{,}999\dots = 0{,}9 \times (1 + 0{,}1 + 0{,}01 + \dots) = 0{,}9 \times \dfrac{1}{0{,}9} = 1$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Suites arithmético-géométriques

Définition. Une suite est arithmético-géométrique si elle vérifie $u_{n+1} = au_n + b$ ($a \neq 1$, $b \neq 0$). Elle modélise une évolution « proportionnelle plus constante » : un capital placé avec des versements réguliers, un emprunt, une population avec immigration, le médicament du § 1.

→ S’entraîner : Exercice 4 · Exercice 5

5. Seuils et algorithmes

Recherche de seuil. Quand une suite tend vers $+\infty$ (ou vers une limite $\ell$), on cherche le premier rang $n$ à partir duquel $u_n$ dépasse une valeur (ou est à moins de $\varepsilon$ de $\ell$). Tant que le logarithme n’est pas disponible (voir le chapitre Fonction logarithme népérien), on programme une boucle.

def seuil(u0, a, b, S):
    """Premier rang n tel que u_n >= S pour u_{n+1} = a*u_n + b."""
    n, u = 0, u0
    while u < S:
        u = a * u + b
        n += 1
    return n

print(seuil(2, 0.5, 2, 3.99))   # 8 : u_8 (après la 9e prise) dépasse 3,99 mL

Valeurs approchées de constantes. Certaines suites récurrentes convergent vers des nombres célèbres : par exemple $u_{n+1} = \dfrac12\left(u_n + \dfrac{2}{u_n}\right)$ avec $u_0 = 1$ converge très vite vers $\sqrt2$ (méthode de Héron).

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

À retenir.

• Suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ : construction en escalier avec la droite $y = x$ pour conjecturer.
• $q > 0$ : $q^n \to 0$ si $q < 1$, $\to 1$ si $q = 1$, $\to +\infty$ si $q > 1$.
• Si $0 < q < 1$ : $1 + q + \dots + q^n \to \dfrac{1}{1 - q}$.
• $u_{n+1} = au_n + b$ : $\ell = \dfrac{b}{1 - a}$, $v_n = u_n - \ell$ géométrique, $u_n = \ell + (u_0 - \ell)a^n$.
• Seuil : boucle while.