Terminale

Suites numériques et modèles discrets — Exercices d'application

1. Modéliser par une suite

Exercice 1 — ⭐

Un lac contient $10$ tonnes d’algues le 1ᵉʳ janvier 2026. Chaque année, la masse d’algues augmente de $20\,\%$ , puis on en retire $1{,}5$ tonne. On note $u_n$ la masse (en tonnes) au 1ᵉʳ janvier de l’année $2026 + n$ .

Calcule $u_1$ et $u_2$ .
Justifie que $u_{n+1} = 1{,}2u_n - 1{,}5$ .
Représente les premiers termes par la méthode de l’escalier (on tracera $y = 1{,}2x - 1{,}5$ et $y = x$ ). Que conjectures-tu ?

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$u_1 = 1{,}2 \times 10 - 1{,}5 = 10{,}5$ ; $u_2 = 1{,}2 \times 10{,}5 - 1{,}5 = 11{,}1$ .
Augmenter de $20\,\%$ revient à multiplier par $1{,}2$ , puis on retire $1{,}5$ .
Les deux droites se coupent en $x = 7{,}5$ . Comme $u_0 = 10 > 7{,}5$ , l’escalier s’éloigne du point d’intersection : la suite semble croissante et tendre vers $+\infty$ .

2. Notion de limite

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Exercice 2 — ⭐

Donne la limite de chaque suite.

$u_n = 5 \times 0{,}9^n$
$v_n = 3 \times 1{,}05^n$
$w_n = 7 - 2 \times 0{,}6^n$
$t_n = \dfrac{1}{n} + 2$ (pour $n \geqslant 1$ )
$s_n = 1{,}5^n - 1$

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$0{,}9^n \to 0$ : $u_n \to 0$ .
$1{,}05^n \to +\infty$ : $v_n \to +\infty$ .
$0{,}6^n \to 0$ : $w_n \to 7$ .
$\dfrac1n \to 0$ : $t_n \to 2$ .
$1{,}5^n \to +\infty$ : $s_n \to +\infty$ .

3. Somme des termes d’une suite géométrique

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Exercice 3 — ⭐⭐

Détermine la limite de $S_n = 1 + \dfrac13 + \dfrac19 + \dots + \left(\dfrac13\right)^n$ .
Une balle est lâchée de $2$ m. À chaque rebond, elle remonte aux $\dfrac35$ de la hauteur précédente. Quelle distance totale parcourt-elle (montées et descentes) si l’on considère une infinité de rebonds ?
Écris le nombre $0{,}454545\dots$ sous forme de fraction.

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$q = \dfrac13$ : $S_n \to \dfrac{1}{1 - \frac13} = \dfrac32$ .
Descente initiale : $2$ m. Puis chaque rebond fait monter et descendre la même hauteur : $2 \times \left(2 \times \dfrac35 + 2 \times \left(\dfrac35\right)^2 + \dots\right)$ $= 2 \times 2 \times \dfrac35 \times \dfrac{1}{1 - \frac35} = 4 \times \dfrac35 \times \dfrac52 = 6$ m. Total : $2 + 6 = 8$ m.
$0{,}4545\dots = 0{,}45 \times \left(1 + 0{,}01 + 0{,}01^2 + \dots\right) = 0{,}45 \times \dfrac{1}{0{,}99} = \dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11}$ .

4. Suites arithmético-géométriques

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Exercice 4 — ⭐⭐

On reprend l’exercice 1 : $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = 1{,}2u_n - 1{,}5$ .

Détermine le réel $\ell$ tel que $\ell = 1{,}2\ell - 1{,}5$ .
On pose $v_n = u_n - \ell$ . Montre que $(v_n)$ est géométrique.
En déduire $u_n$ en fonction de $n$ , puis sa limite.
Quelle quantité retirer chaque année (au lieu de $1{,}5$ t) pour que la masse d’algues reste constante égale à $10$ t ?

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$0{,}2\ell = 1{,}5$ : $\ell = 7{,}5$ .
$v_{n+1} = 1{,}2u_n - 1{,}5 - 7{,}5 = 1{,}2u_n - 9 = 1{,}2(u_n - 7{,}5) = 1{,}2v_n$ : géométrique de raison $1{,}2$ , $v_0 = 2{,}5$ .
$u_n = 7{,}5 + 2{,}5 \times 1{,}2^n$ ; $1{,}2^n \to +\infty$ donc $u_n \to +\infty$ : les algues envahissent le lac.
Il faut $10 = 1{,}2 \times 10 - r$ , soit $r = 2$ tonnes par an.

Exercice 5 — ⭐⭐⭐

Emprunt. On emprunte $10\,000$ € au taux mensuel de $0{,}5\,\%$ et on rembourse $200$ € à la fin de chaque mois. On note $c_n$ le capital restant dû après $n$ mois ( $c_0 = 10\,000$ ).

Justifie que $c_{n+1} = 1{,}005c_n - 200$ .
Montre que $c_n = 40\,000 - 30\,000 \times 1{,}005^n$ .
Avec un tableur ou Python, détermine le nombre de mois nécessaires pour tout rembourser.
Que se passerait-il si l’on remboursait seulement $50$ € par mois ?

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Chaque mois, les intérêts font passer le capital dû à $1{,}005c_n$ , puis on rembourse $200$ €.
$\ell = 1{,}005\ell - 200 \iff \ell = 40\,000$ . $c_n - 40\,000$ est géométrique de raison $1{,}005$ et vaut $-30\,000$ pour $n = 0$ : $c_n = 40\,000 - 30\,000 \times 1{,}005^n$ .
On cherche le premier $n$ tel que $c_n \leqslant 0$ , soit $1{,}005^n \geqslant \dfrac43$ : on trouve $n = 58$ mois ( $c_{57} > 0$ , $c_{58} < 0$ ).
Les intérêts du premier mois ( $50$ €) seraient exactement compensés : le capital resterait égal à $10\,000$ € pour toujours.

5. Seuils et algorithmes

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Exercice 6 — ⭐⭐

On reprend l’exercice 4 ( $u_n = 7{,}5 + 2{,}5 \times 1{,}2^n$ ).

Complète la fonction Python suivante pour qu’elle renvoie la première année où la masse d’algues dépasse M tonnes.

def annee_seuil(M):
    n, u = 0, 10
    while ...:
        u = ...
        n = ...
    return 2026 + n

Quelle valeur renvoie annee_seuil(50) ?

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def annee_seuil(M):
    n, u = 0, 10
    while u <= M:
        u = 1.2 * u - 1.5
        n = n + 1
    return 2026 + n

print(annee_seuil(50))   # 2042

Avec $u_n = 7{,}5 + 2{,}5 \times 1{,}2^n$ : $u_{15} \approx 46{,}02 \leqslant 50$ et $u_{16} \approx 53{,}72 > 50$ . La boucle s’arrête pour $n = 16$ et la fonction renvoie $2026 + 16 = 2042$ .

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Méthode de Héron. On définit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac12\left(u_n + \dfrac{2}{u_n}\right)$ .

Calcule $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ sous forme de fractions.
Compare $u_3$ et $\sqrt2$ à la calculatrice. Que constates-tu ?
Écris une fonction Python heron(a, n) qui renvoie $u_n$ pour la suite $u_{n+1} = \dfrac12\left(u_n + \dfrac{a}{u_n}\right)$ , $u_0 = 1$ .

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$u_1 = \dfrac32$ ; $u_2 = \dfrac12\left(\dfrac32 + \dfrac43\right) = \dfrac{17}{12}$ ; $u_3 = \dfrac12\left(\dfrac{17}{12} + \dfrac{24}{17}\right) = \dfrac{577}{408}$ .
$\dfrac{577}{408} \approx 1{,}4142157$ et $\sqrt2 \approx 1{,}4142136$ : déjà $5$ décimales exactes après $3$ étapes.

def heron(a, n):
    u = 1
    for k in range(n):
        u = (u + a / u) / 2
    return u

print(heron(2, 5))   # 1.414213562373095