Terminale⏱ 1 heure

Suites numériques et modèles discrets — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

Limite de $0{,}3^n$ ?
Limite de $4 \times 1{,}1^n$ ?
Limite de $2 + \dfrac{5}{n}$ ?
$u_{n+1} = 0{,}8u_n + 4$ : quelle est la solution constante $\ell$ ?
Limite de $1 + 0{,}5 + 0{,}5^2 + \dots + 0{,}5^n$ ?
$(u_n)$ géométrique, $u_0 = 3$ , $q = 2$ : $u_4$ ?
Coefficient multiplicateur d'une baisse de $8\,\%$ ?
$u_n = 10 - 4 \times 0{,}5^n$ : limite ?

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$0$ .
$+\infty$ .
$2$ .
$\ell = 0{,}8\ell + 4 \iff 0{,}2\ell = 4 \iff \ell = 20$ .
$\dfrac{1}{1 - 0{,}5} = 2$ .
$3 \times 2^4 = 48$ .
$0{,}92$ .
$10$ .

Exercice 2 (4 points) — Démonstration

Soit $q$ un réel avec $0 < q < 1$ . On rappelle que $1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ . Démontre que cette somme tend vers $\dfrac{1}{1 - q}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ , puis calcule la limite de $1 + \dfrac25 + \left(\dfrac25\right)^2 + \dots + \left(\dfrac25\right)^n$ .

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Comme $0 < q < 1$ , $q^{n+1} \to 0$ , donc $1 - q^{n+1} \to 1$ et $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \to \dfrac{1}{1 - q}$ . Avec $q = \dfrac25$ : la limite est $\dfrac{1}{1 - \frac25} = \dfrac53$ .

Exercice 3 (12 points) — Abonnés d'une médiathèque

Une médiathèque compte $2\,000$ abonnés en 2026. Chaque année, $15\,\%$ des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et $450$ nouvelles personnes s'abonnent. On note $a_n$ le nombre d'abonnés en $2026 + n$ .

Calcule $a_1$ et $a_2$ . (1 point)
Justifie que $a_{n+1} = 0{,}85a_n + 450$ . (1 point)
Détermine le réel $\ell$ tel que $\ell = 0{,}85\ell + 450$ . (1 point)
On pose $b_n = a_n - \ell$ . Montre que $(b_n)$ est géométrique ; précise sa raison et son premier terme. (3 points)
En déduire l'expression de $a_n$ en fonction de $n$ , puis sa limite. Interprète. (3 points)
La médiathèque ouvre une nouvelle salle quand elle dépasse $2\,800$ abonnés. Complète le programme Python ci-dessous pour qu'il affiche l'année correspondante, puis donne cette année. (3 points)

n, a = 0, 2000
while ...:
    a = ...
    n = n + 1
print(2026 + n)

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$a_1 = 0{,}85 \times 2\,000 + 450 = 2\,150$ ; $a_2 = 0{,}85 \times 2\,150 + 450 = 2\,277{,}5$ (on garde la valeur du modèle, environ $2\,278$ abonnés).
$15\,\%$ ne renouvellent pas : il reste $85\,\%$ des abonnés, soit $0{,}85a_n$ , auxquels s'ajoutent $450$ nouveaux.
$0{,}15\ell = 450 \iff \ell = 3\,000$ .
$b_{n+1} = a_{n+1} - 3\,000 = 0{,}85a_n + 450 - 3\,000 = 0{,}85a_n - 2\,550 = 0{,}85(a_n - 3\,000) = 0{,}85b_n$ . Suite géométrique de raison $0{,}85$ et de premier terme $b_0 = 2\,000 - 3\,000 = -1\,000$ .
$b_n = -1\,000 \times 0{,}85^n$ , donc $a_n = 3\,000 - 1\,000 \times 0{,}85^n$ . Comme $0 < 0{,}85 < 1$ , $0{,}85^n \to 0$ et $a_n \to 3\,000$ : le nombre d'abonnés se stabilise autour de $3\,000$ .
```
n, a = 0, 2000
while a <= 2800:
    a = 0.85 * a + 450
    n = n + 1
print(2026 + n)   # 2036
```
$a_9 \approx 2\,768$ $a_{9} \approx 2768$ et $a_{10} \approx 2\,803$ $a_{10} \approx 2803$ : la nouvelle salle ouvre en 2036.