Terminale

Calcul intégral — Exercices d'application

1. Intégrale d’une fonction continue positive

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Exercice 1 — ⭐

Sans chercher de primitive, calcule ces intégrales en les interprétant comme des aires (fais un croquis).

$\displaystyle\int_1^5 3\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_0^6 \frac{x}{2}\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_{-1}^{3} (x + 2)\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_0^3 \sqrt{9 - x^2}\,\mathrm{d}x$

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Rectangle de largeur $4$ et de hauteur $3$ : $12$ .
Triangle rectangle de base $6$ et de hauteur $3$ : $\dfrac{6 \times 3}{2} = 9$ .
Trapèze de bases $f(-1) = 1$ et $f(3) = 5$ , de hauteur $4$ : $\dfrac{(1 + 5) \times 4}{2} = 12$ .
$y = \sqrt{9 - x^2} \iff x^2 + y^2 = 9$ avec $y \geqslant 0$ : quart de disque de rayon $3$ (pour $x \in [0\,;\,3]$ ). Aire $\dfrac{9\pi}{4}$ .

2. Intégrale et primitive

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Exercice 2 — ⭐⭐

Calcule les intégrales suivantes.

$\displaystyle\int_1^3 (2x - 1)\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_0^{\ln 2} e^x\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_1^4 \frac{1}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x$

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$\big[x^2 - x\big]_1^3 = (9 - 3) - (1 - 1) = 6$ .
$\big[e^x\big]_0^{\ln 2} = 2 - 1 = 1$ .
$\big[2\sqrt x\big]_1^4 = 4 - 2 = 2$ .
$\big[-\cos x\big]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$ .
$\left[\dfrac12\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \dfrac12\ln 2$ .

Exercice 3 — ⭐⭐

Soit $G(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ pour $x \in \mathbb{R}$ .

Que vaut $G(0)$ ? Que vaut $G'(x)$ ?
En déduire le sens de variation de $G$ .
Justifie que $G(1) > 0$ et que $G(1) < 1$ .

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$G(0) = 0$ . $G$ est la primitive de $t \mapsto e^{-t^2}$ (continue) qui s’annule en $0$ : $G'(x) = e^{-x^2}$ .
$G'(x) > 0$ : $G$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
$G$ croissante : $G(1) > G(0) = 0$ . Sur $[0\,;\,1]$ , $e^{-t^2} \leqslant 1$ (avec égalité seulement en $0$ ), donc $G(1) \leqslant \displaystyle\int_0^1 1\,\mathrm{d}t = 1$ ; et même $G(1) < 1$ car l’inégalité est stricte sauf en un point (la méthode des rectangles donne $G(1) \approx 0{,}747$ ).

3. Propriétés de l’intégrale

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Exercice 4 — ⭐⭐

On sait que $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = 3$ , $\displaystyle\int_2^5 f(x)\,\mathrm{d}x = -1$ et $\displaystyle\int_0^5 g(x)\,\mathrm{d}x = 4$ .

Calcule $\displaystyle\int_0^5 f(x)\,\mathrm{d}x$ et $\displaystyle\int_0^5 \big(2f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x$ .
Calcule la valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;\,5]$ .
Peut-on avoir $f \geqslant 0$ sur $[2\,;\,5]$ ? Justifie.

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Chasles : $\displaystyle\int_0^5 f = 3 + (-1) = 2$ . Linéarité : $2 \times 2 - 4 = 0$ .
$\mu = \dfrac15 \times 2 = 0{,}4$ .
Non : si $f \geqslant 0$ sur $[2\,;\,5]$ , l’intégrale de $2$ à $5$ serait positive (positivité), or elle vaut $-1$ .

Exercice 5 — ⭐⭐⭐

Soit $I = \displaystyle\int_0^1 e^{x^2}\,\mathrm{d}x$ .

Justifie que, pour tout réel $t$ , $e^t \geqslant 1 + t$ .
En déduire que, pour tout $x \in [0\,;\,1]$ , $1 + x^2 \leqslant e^{x^2} \leqslant e$ .
En déduire un encadrement de $I$ .

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$\exp$ est convexe : sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$ , $y = 1 + t$ .
Avec $t = x^2$ : $e^{x^2} \geqslant 1 + x^2$ . Et $x^2 \leqslant 1$ donc $e^{x^2} \leqslant e^1 = e$ ( $\exp$ croissante).
On intègre sur $[0\,;\,1]$ (bornes dans l’ordre croissant) : $\displaystyle\int_0^1 (1 + x^2)\,\mathrm{d}x = 1 + \frac13 = \frac43$ , donc $\dfrac43 \leqslant I \leqslant e$ .

4. Aire entre deux courbes

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Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Soit $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2x$ .

Détermine les abscisses des points d’intersection des deux courbes.
Quelle courbe est au-dessus de l’autre entre ces points ?
Calcule l’aire du domaine compris entre les deux courbes.

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$x^2 = 2x \iff x(x - 2) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 2$ .
$g(x) - f(x) = x(2 - x) \geqslant 0$ sur $[0\,;\,2]$ : la droite est au-dessus de la parabole.
$\displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac83 = \frac43$ u.a.

5. Intégration par parties

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Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Calcule à l’aide d’une intégration par parties.

$\displaystyle\int_0^\pi x\cos x\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_0^1 x\,e^{2x}\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_1^e x\ln x\,\mathrm{d}x$

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$u = x$ , $v' = \cos x$ ; $u' = 1$ , $v = \sin x$ : $\big[x\sin x\big]_0^\pi - \displaystyle\int_0^\pi \sin x\,\mathrm{d}x = 0 - 2 = -2$ .
$u = x$ , $v' = e^{2x}$ ; $u' = 1$ , $v = \dfrac12 e^{2x}$ : $\left[\dfrac x2 e^{2x}\right]_0^1 - \dfrac12\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,\mathrm{d}x = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2 - 1}{4} = \dfrac{e^2 + 1}{4}$ .
$u = \ln x$ , $v' = x$ ; $u' = \dfrac1x$ , $v = \dfrac{x^2}{2}$ : $\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \displaystyle\int_1^e \dfrac x2\,\mathrm{d}x = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2 - 1}{4} = \dfrac{e^2 + 1}{4}$ .

Exercice 8 — ⭐⭐⭐

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}\,\mathrm{d}x$ .

Calcule $I_0$ .
Calcule $I_n + I_{n+1}$ et en déduire $I_1$ et $I_2$ .
Montre que, pour tout $n$ , $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{n + 1}$ . En déduire la limite de $(I_n)$ .

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$I_0 = \big[\ln(1 + x)\big]_0^1 = \ln 2$ .
$I_n + I_{n+1} = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^n(1 + x)}{1 + x}\,\mathrm{d}x = \int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x = \frac{1}{n + 1}$ . Donc $I_1 = 1 - \ln 2$ et $I_2 = \dfrac12 - I_1 = \ln 2 - \dfrac12$ .
Sur $[0\,;\,1]$ : $0 \leqslant \dfrac{x^n}{1 + x} \leqslant x^n$ (car $1 + x \geqslant 1$ ). En intégrant : $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac1{n+1}$ . Par les gendarmes, $\lim I_n = 0$ .

6. Approcher une intégrale : méthode des rectangles

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Exercice 9 — ⭐⭐

Modifie la fonction rectangles du cours pour qu’elle calcule la somme des rectangles « au point milieu » (on évalue $f$ en $a + \left(k + \frac12\right)h$ ).
Compare les résultats pour $n = 100$ avec les rectangles à gauche. Laquelle est la plus précise ?
Utilise ta fonction pour approcher $\displaystyle\int_1^2 \frac1x\,\mathrm{d}x$ et compare avec la valeur exacte.

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Une possibilité (on passe la fonction en paramètre) :

from math import exp, log

def milieu(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + h * f(a + (k + 0.5) * h)
    return s

print(milieu(lambda x: exp(-x**2), 0, 1, 100))   # 0.74682...
print(milieu(lambda x: 1 / x, 1, 2, 100))        # 0.69314...
print(log(2))                                    # 0.69314...

À gauche : $0{,}7500$ ; au point milieu : $0{,}7468$ . Le point milieu est bien plus précis (erreur de quelques $10^{-6}$ contre $3 \times 10^{-3}$ ).
$\displaystyle\int_1^2 \frac1x\,\mathrm{d}x = \ln 2 \approx 0{,}693\,15$ ; la méthode du point milieu donne la même valeur à $10^{-5}$ près.