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Terminale⏱ 1 heure

Calcul intégral — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

  1. ∫032 dx\displaystyle\int_0^3 2\,\mathrm{d}x ?
  2. ∫01x dx\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x ?
  3. ∫22f(x) dx\displaystyle\int_2^2 f(x)\,\mathrm{d}x ?
  4. Si ∫13f=5\displaystyle\int_1^3 f = 5, que vaut ∫31f\displaystyle\int_3^1 f ?
  5. Une primitive de x↦e−xx \mapsto e^{-x} ?
  6. [x2]13\big[x^2\big]_1^3 ?
  7. Valeur moyenne de x↦4x \mapsto 4 sur [0 ; 10][0\,;\,10] ?
  8. ∫1e1x dx\displaystyle\int_1^e \dfrac1x\,\mathrm{d}x ?
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  1. 66.
  2. 12\dfrac12.
  3. 00.
  4. −5-5.
  5. −e−x-e^{-x}.
  6. 9−1=89 - 1 = 8.
  7. 44.
  8. 11.

Exercice 2 (5 points) — Calculs d'intégrales

  1. ∫02(x3−x) dx\displaystyle\int_0^2 (x^3 - x)\,\mathrm{d}x (1,5 point)
  2. ∫01e−x dx\displaystyle\int_0^1 e^{-x}\,\mathrm{d}x (1 point)
  3. ∫121x2 dx\displaystyle\int_1^2 \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x (1,5 point)
  4. ∫0π/2cos⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\mathrm{d}x (1 point)
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  1. [x44−x22]02=(4−2)−0=2\left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{x^2}{2}\right]_0^2 = (4 - 2) - 0 = 2.
  2. [−e−x]01=−e−1+1=1−1e\big[-e^{-x}\big]_0^1 = -e^{-1} + 1 = 1 - \dfrac1e.
  3. [−1x]12=−12+1=12\left[-\dfrac1x\right]_1^2 = -\dfrac12 + 1 = \dfrac12.
  4. [sin⁡x]0π/2=1−0=1\big[\sin x\big]_0^{\pi/2} = 1 - 0 = 1.

Exercice 3 (5 points) — Intégration par parties

  1. Démontre la formule d'intégration par parties : pour uu et vv dérivables à dérivées continues sur [a ; b][a\,;\,b], ∫abuv′=[uv]ab−∫abu′v\displaystyle\int_a^b uv' = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b u'v. (2 points)
  2. Calcule ∫01x e−x dx\displaystyle\int_0^1 x\,e^{-x}\,\mathrm{d}x. (3 points)
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  1. (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv' est continue, et uvuv en est une primitive : ∫ab(u′v+uv′)=[uv]ab\displaystyle\int_a^b (u'v + uv') = \big[uv\big]_a^b. Par linéarité, ∫abu′v+∫abuv′=[uv]ab\displaystyle\int_a^b u'v + \int_a^b uv' = \big[uv\big]_a^b, d'où la formule.
  2. u=xu = x, v′=e−xv' = e^{-x} ; u′=1u' = 1, v=−e−xv = -e^{-x} : ∫01xe−x dx=[−xe−x]01−∫01(−e−x) dx=−e−1+[−e−x]01=−e−1−e−1+1=1−2e\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,\mathrm{d}x = \big[-xe^{-x}\big]_0^1 - \int_0^1 (-e^{-x})\,\mathrm{d}x = -e^{-1} + \big[-e^{-x}\big]_0^1 = -e^{-1} - e^{-1} + 1 = 1 - \dfrac2e.

Exercice 4 (6 points) — Aire et valeur moyenne

Soit f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2 et g(x)=x+2g(x) = x + 2.

  1. Résous f(x)=g(x)f(x) = g(x). (1,5 point)
  2. Étudie le signe de f(x)−g(x)f(x) - g(x). (1 point)
  3. Calcule l'aire du domaine compris entre les deux courbes. (2 points)
  4. Calcule la valeur moyenne de ff sur [0 ; 2][0\,;\,2] et interprète graphiquement. (1,5 point)
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  1. 4−x2=x+2  ⟺  x2+x−2=0  ⟺  (x−1)(x+2)=0  ⟺  x=14 - x^2 = x + 2 \iff x^2 + x - 2 = 0 \iff (x - 1)(x + 2) = 0 \iff x = 1 ou x=−2x = -2.
  2. f(x)−g(x)=−x2−x+2=−(x−1)(x+2)f(x) - g(x) = -x^2 - x + 2 = -(x - 1)(x + 2) : positif sur [−2 ; 1][-2\,;\,1], négatif en dehors.
  3. ∫−21(2−x−x2) dx=[2x−x22−x33]−21=(2−12−13)−(−4−2+83)=76+103=92\displaystyle\int_{-2}^1 (2 - x - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^1 = \left(2 - \frac12 - \frac13\right) - \left(-4 - 2 + \frac83\right) = \frac76 + \frac{10}{3} = \frac92 u.a.
  4. μ=12∫02(4−x2) dx=12[4x−x33]02=12(8−83)=83\mu = \dfrac12\displaystyle\int_0^2 (4 - x^2)\,\mathrm{d}x = \dfrac12\left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \dfrac12\left(8 - \dfrac83\right) = \dfrac83. Le rectangle de base [0 ; 2][0\,;\,2] et de hauteur 83\dfrac83 a la même aire que le domaine sous la courbe de ff entre 00 et 22.