Calcul intégral

Ce que tu sais déjà. Tu sais calculer des primitives et tu sais que deux primitives diffèrent d’une constante (Terminale — Primitives et équations différentielles). Tu sais calculer des aires de figures usuelles (rectangles, triangles, trapèzes, disques). L’intégrale permet de calculer l’aire d’une région limitée par une courbe.

1. Intégrale d’une fonction continue positive

Unité d’aire. Dans un repère orthogonal $(O\,;\,I\,;\,J)$, l’unité d’aire (u.a.) est l’aire du rectangle de côtés $OI$ et $OJ$.

Définition. Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a\,;\,b]$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe. L’intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = a$ et $x = b$. On la note $$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$$

La variable $x$ est « muette » : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$.

Exemples (aires connues).

• $\displaystyle\int_0^4 (0{,}5x + 1)\,\mathrm{d}x$ est l’aire d’un trapèze de bases $f(0) = 1$ et $f(4) = 3$ et de hauteur $4$ : $\dfrac{(1 + 3) \times 4}{2} = 8$ u.a.
• $\displaystyle\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2}\,\mathrm{d}x$ est l’aire d’un demi-disque de rayon $2$ : $\dfrac{\pi \times 2^2}{2} = 2\pi$ u.a.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Intégrale et primitive

Théorème. Soit $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$. La fonction $F_a$ définie sur $[a\,;\,b]$ par $$F_a(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$$ est dérivable sur $[a\,;\,b]$ et $F_a' = f$ : c’est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$.

Conséquence. On admet que ce résultat s’étend à toute fonction continue : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Théorème (calcul d’une intégrale). Si $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $[a\,;\,b]$, alors $$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a), \qquad\text{que l'on note}\qquad \big[F(x)\big]_a^b.$$

Extension (définition). Pour une fonction $f$ continue de signe quelconque sur un intervalle $I$ contenant $a$ et $b$, on définit $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$, où $F$ est une primitive de $f$. On a alors $\displaystyle\int_a^a f = 0$ et $\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f$.

Exemples.

• $\displaystyle\int_0^2 3x^2\,\mathrm{d}x = \big[x^3\big]_0^2 = 8 - 0 = 8$.
• $\displaystyle\int_1^e \frac1x\,\mathrm{d}x = \big[\ln x\big]_1^e = 1 - 0 = 1$.
• $\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,\mathrm{d}x = \left[\frac12 e^{2x}\right]_0^1 = \frac{e^2 - 1}{2}$.

Interprétation quand $f$ est négative. Si $f \leqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$ ($a < b$), $\displaystyle\int_a^b f$ est l’opposé de l’aire entre la courbe et l’axe. Pour $f$ de signe variable, l’intégrale est une aire algébrique : les parties sous l’axe comptent négativement ($\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin x\,\mathrm{d}x = 0$).

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. Propriétés de l’intégrale

Soit $f$ et $g$ continues sur un intervalle $I$, $a$, $b$, $c$ des réels de $I$ et $\lambda$ un réel.

• Linéarité. $\displaystyle\int_a^b \big(f + g\big) = \int_a^b f + \int_a^b g$ et $\displaystyle\int_a^b \lambda f = \lambda\int_a^b f$.
• Relation de Chasles. $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$.
• Positivité. Si $a \leqslant b$ et $f \geqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f \geqslant 0$.
• Intégration d’une inégalité. Si $a \leqslant b$ et $f \leqslant g$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f \leqslant \int_a^b g$.

(Ces propriétés découlent de celles des primitives ; la positivité et l’intégration des inégalités exigent $a \leqslant b$.)

Valeur moyenne. Pour $a < b$, la valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ est $$\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$$ Si $f \geqslant 0$, c’est la hauteur du rectangle de base $[a\,;\,b]$ qui a la même aire que le domaine sous la courbe.

Exemples.

• Valeur moyenne de $x \mapsto x^2$ sur $[0\,;\,3]$ : $\dfrac13\big[\tfrac{x^3}{3}\big]_0^3 = \dfrac13 \times 9 = 3$.
• Encadrer une intégrale. Sur $[0\,;\,1]$, $0 \leqslant x^2 \leqslant 1$ donc $1 \leqslant e^{x^2} \leqslant e$ ; en intégrant (avec $0 \leqslant 1$) : $1 \leqslant \displaystyle\int_0^1 e^{x^2}\,\mathrm{d}x \leqslant e$. (On ne sait pas calculer cette intégrale exactement !)

→ S’entraîner : Exercice 4 · Exercice 5

4. Aire entre deux courbes

Propriété. Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a\,;\,b]$ avec $g \leqslant f$ sur $[a\,;\,b]$, l’aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites $x = a$ et $x = b$ vaut $$\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x \quad\text{u.a.}$$

Exemple. $f(x) = x$ et $g(x) = x^2$ se coupent en $0$ et $1$, et $x^2 \leqslant x$ sur $[0\,;\,1]$. Aire : $\displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac12 - \frac13 = \frac16$ u.a.

→ S’entraîner : Exercice 6

5. Intégration par parties

Théorème. Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a\,;\,b]$, de dérivées continues. Alors $$\int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x = \big[u(x)\,v(x)\big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x.$$

Quand l’utiliser ? Quand on intègre un produit dont on ne connaît pas de primitive, et qu’en dérivant l’un des facteurs il se simplifie (un polynôme, $\ln x$).

Exemples.

• $\displaystyle\int_0^1 xe^x\,\mathrm{d}x$ : $u = x$, $v' = e^x$ ; $u' = 1$, $v = e^x$. On obtient $\big[xe^x\big]_0^1 - \displaystyle\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = e - (e - 1) = 1$.
• $\displaystyle\int_1^e \ln x\,\mathrm{d}x$ : on écrit $\ln x = \ln x \times 1$, $u = \ln x$, $v' = 1$ ; $u' = \dfrac1x$, $v = x$. $\big[x\ln x\big]_1^e - \displaystyle\int_1^e 1\,\mathrm{d}x = e - (e - 1) = 1$.

→ S’entraîner : Exercice 7 · Exercice 8

6. Approcher une intégrale : méthode des rectangles

Quand on ne connaît pas de primitive (comme pour $x \mapsto e^{-x^2}$), on approche l’aire. On partage $[a\,;\,b]$ en $n$ intervalles de largeur $h = \dfrac{b - a}{n}$ et on additionne les aires de rectangles.

from math import exp

def f(x):
    return exp(-x**2)

def rectangles(a, b, n):
    """Somme des aires des rectangles à gauche."""
    h = (b - a) / n
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + h * f(a + k * h)
    return s

print(rectangles(0, 1, 10))    # 0.7778...
print(rectangles(0, 1, 100))   # 0.7499...   (valeur exacte à 10⁻⁴ : 0.7468)

Variantes. Rectangles « à droite », point milieu (on prend $f$ au milieu de chaque intervalle : beaucoup plus précis), trapèzes, ou Monte-Carlo (on tire des points au hasard dans un rectangle et on compte ceux qui sont sous la courbe).

→ S’entraîner : Exercice 9

À retenir.

• $f \geqslant 0$ continue : $\int_a^b f$ = aire sous la courbe (u.a.).
• $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est la primitive de $f$ nulle en $a$ ; $\int_a^b f = F(b) - F(a) = [F]_a^b$.
• Linéarité, Chasles, positivité, intégration des inégalités (bornes dans l’ordre croissant).
• Valeur moyenne : $\dfrac1{b - a}\int_a^b f$ ; aire entre courbes : $\int_a^b (f - g)$ si $g \leqslant f$.
• Intégration par parties : $\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v$.