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Primitives et équations différentielles — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

Une primitive de $x \mapsto 3x^2$ ?
Une primitive de $x \mapsto e^{3x}$ ?
Une primitive de $x \mapsto \dfrac1x$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?
Une primitive de $x \mapsto 2xe^{x^2}$ ?
Solutions de $y' = -4y$ ?
Solution constante de $y' = 3y + 6$ ?
$F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ ; que peut-on dire de $F - G$ ?
Méthode d'Euler : si $y(0) = 2$ , $y'(0) = 5$ et $h = 0{,}1$ , quelle approximation de $y(0{,}1)$ ?

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$x^3$ .
$\dfrac{e^{3x}}{3}$ .
$\ln x$ .
$e^{x^2}$ .
$x \mapsto Ce^{-4x}$ , $C$ réel.
$0 = 3y + 6 \iff y = -2$ .
C'est une fonction constante.
$2 + 0{,}1 \times 5 = 2{,}5$ .

Exercice 2 (4 points) — Démonstration

Démontre que les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$ ( $C$ réel). On pourra considérer, pour une solution $y$ , la fonction $g(x) = y(x)e^{-ax}$ .

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Les fonctions $Ce^{ax}$ sont solutions : $(Ce^{ax})' = aCe^{ax}$ . Réciproquement, si $y' = ay$ , soit $g(x) = y(x)e^{-ax}$ : $g'(x) = y'(x)e^{-ax} - ay(x)e^{-ax} = (y'(x) - ay(x))e^{-ax} = 0$ . $g$ est constante sur $\mathbb{R}$ : $g(x) = C$ , donc $y(x) = Ce^{ax}$ .

Exercice 3 (4 points) — Primitives

Détermine une primitive de $f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$ . (2 points)
Détermine la primitive $G$ de $g(x) = 2x + 1 - e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ telle que $G(0) = 0$ . (2 points)

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$f = 2 \times \dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1 > 0$ : $F(x) = 2\ln(x^2 + 1)$ .
$G(x) = x^2 + x + e^{-x} + C$ ; $G(0) = 1 + C = 0$ , donc $C = -1$ : $G(x) = x^2 + x + e^{-x} - 1$ .

Exercice 4 (8 points) — Charge d'un condensateur

Lors de la charge d'un condensateur, la tension $u(t)$ (en volts, $t$ en millisecondes) vérifie $u' = -0{,}2u + 2$ , avec $u(0) = 0$ .

Détermine la solution constante de cette équation. (1 point)
En déduire l'expression de $u(t)$ . (2 points)
Étudie le sens de variation de $u$ et sa limite en $+\infty$ . Interprète. (2 points)
Au bout de combien de millisecondes la tension dépasse-t-elle $9$ V ? (2 points)
Avec la méthode d'Euler et un pas de $1$ ms, calcule les approximations de $u(1)$ et $u(2)$ et compare avec les valeurs exactes. (1 point)

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$0 = -0{,}2u + 2 \iff u = 10$ .
$u(t) = Ce^{-0{,}2t} + 10$ ; $u(0) = C + 10 = 0$ , donc $C = -10$ : $u(t) = 10 - 10e^{-0{,}2t}$ .
$u'(t) = 2e^{-0{,}2t} > 0$ : $u$ est croissante. $e^{-0{,}2t} \to 0$ , donc $u(t) \to 10$ : la tension se rapproche de $10$ V (tension du générateur) sans l'atteindre.
$10 - 10e^{-0{,}2t} > 9 \iff e^{-0{,}2t} < 0{,}1 \iff -0{,}2t < \ln 0{,}1 \iff t > \dfrac{\ln 10}{0{,}2} \approx 11{,}5$ ms.
Euler : $u(1) \approx 0 + 1 \times 2 = 2$ ; $u(2) \approx 2 + 1 \times (-0{,}4 + 2) = 3{,}6$ . Valeurs exactes : $u(1) \approx 1{,}81$ et $u(2) \approx 3{,}30$ . Avec un pas de $1$ ms, Euler surestime la tension (la courbe est concave : elle est sous ses tangentes).