Primitives et équations différentielles

Ce que tu sais déjà. Tu sais dériver les fonctions usuelles, $e^u$, $\ln u$ et $f(ax + b)$ (Dérivation et convexité, Logarithme). Une équation différentielle relie une fonction inconnue à sa dérivée : c’est le langage naturel des lois physiques (refroidissement, radioactivité, charge d’un condensateur). Thème d’étude associé : « Modèles d’évolution ».

1. Équations différentielles

Définition. Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction $y$, et qui fait intervenir sa dérivée $y'$. Résoudre l’équation sur un intervalle $I$, c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur $I$ qui la vérifient.

Exemples.

• $f(x) = 3e^{2x}$ est solution de $y' = 2y$ : $f'(x) = 6e^{2x} = 2f(x)$.
• $g(t) = 20 + 60e^{-0{,}1t}$ est solution de $y' = -0{,}1y + 2$ : $g'(t) = -6e^{-0{,}1t}$ et $-0{,}1g(t) + 2 = -2 - 6e^{-0{,}1t} + 2 = -6e^{-0{,}1t}$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Primitives

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$. Autrement dit, $F$ est solution de l’équation différentielle $y' = f$.

Propriété. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $F + C$, où $C$ est une constante réelle. Il existe une unique primitive prenant une valeur donnée en un point donné.

Primitives usuelles (sur un intervalle où elles sont définies ; $C$ constante) :

Formes composées (en lisant « à l’envers » les formules de dérivation) :

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. L’équation y’ = ay

Théorème. Soit $a$ un réel. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l’équation $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$, où $C$ est une constante réelle. Pour tout réel $x_0$ et tout $y_0$, il existe une unique solution telle que $y(x_0) = y_0$.

Exemple (radioactivité). Le nombre $N(t)$ de noyaux radioactifs vérifie $N' = -\lambda N$. Avec $N(0) = N_0$ : $N(t) = N_0e^{-\lambda t}$.

→ S’entraîner : Exercice 4

4. L’équation y’ = ay + b

Théorème. Soit $a \neq 0$ et $b$ deux réels. L’équation $y' = ay + b$ admet la solution constante $y = -\dfrac ba$, et ses solutions sont les fonctions $$x \mapsto Ce^{ax} - \frac ba \qquad (C \text{ constante réelle}).$$

Justification. Si $y$ est solution, $z = y + \dfrac ba$ vérifie $z' = y' = ay + b = a\left(y + \dfrac ba\right) = az$ : $z = Ce^{ax}$.

Allure des solutions. Pour $a < 0$, toutes les solutions tendent vers la solution constante $-\dfrac ba$ : c’est un état d’équilibre (stable). Pour $a > 0$, elles s’en éloignent.

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

5. Méthode d’Euler

Quand on ne sait pas résoudre une équation différentielle, on l’approche : on part de $y(x_0) = y_0$ et on avance à petits pas $h$ en suivant la tangente, c’est-à-dire en utilisant $y(x + h) \approx y(x) + h\,y'(x)$.

def euler(a, b, x0, y0, h, n):
    """Approche y' = a*y + b, y(x0) = y0 : n pas de longueur h."""
    x, y = x0, y0
    points = [(x, y)]
    for k in range(n):
        y = y + h * (a * y + b)
        x = x + h
        points.append((x, y))
    return points

print(euler(-0.1, 2, 0, 80, 1, 10)[-1])   # (10, 40.92...)
# valeur exacte : 20 + 60e^(-1) ≈ 42,07

→ S’entraîner : Exercice 7

À retenir.

• Primitive : $F' = f$ ; deux primitives diffèrent d’une constante.
• Formes : $2u'u \to u^2$ ; $u'e^u \to e^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ ($u > 0$) ; toujours vérifier en dérivant.
• $y' = ay$ : $y = Ce^{ax}$. $y' = ay + b$ : $y = Ce^{ax} - \dfrac ba$ ; la constante $C$ se trouve avec la condition initiale.
• Pour $a < 0$, les solutions tendent vers l’équilibre $-\dfrac ba$.
• Euler : $y(x + h) \approx y(x) + h\,y'(x)$.