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Terminale

Primitives et équations différentielles — Exercices d'application

1. Équations différentielles

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Exercice 1 — ⭐

  1. Vérifie que f(x)=5e−3xf(x) = 5e^{-3x} est solution de y′+3y=0y' + 3y = 0.
  2. La fonction g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1 est-elle solution de y′=2xy' = 2x ? de y′=y−x2+2x−1y' = y - x^2 + 2x - 1 ?
  3. Vérifie que h(t)=4−4e−th(t) = 4 - 4e^{-t} est solution de y′=−y+4y' = -y + 4 et calcule h(0)h(0).
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  1. f′(x)=−15e−3xf'(x) = -15e^{-3x} et f′(x)+3f(x)=−15e−3x+15e−3x=0f'(x) + 3f(x) = -15e^{-3x} + 15e^{-3x} = 0.
  2. g′(x)=2xg'(x) = 2x : oui pour la première. Pour la seconde : y−x2+2x−1=x2+1−x2+2x−1=2x=g′(x)y - x^2 + 2x - 1 = x^2 + 1 - x^2 + 2x - 1 = 2x = g'(x) : oui aussi.
  3. h′(t)=4e−th'(t) = 4e^{-t} et −h(t)+4=−4+4e−t+4=4e−t-h(t) + 4 = -4 + 4e^{-t} + 4 = 4e^{-t} ✓. h(0)=0h(0) = 0.

2. Primitives

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Exercice 2 — ⭐

Détermine une primitive de chaque fonction sur l’intervalle indiqué.

  1. f(x)=6x2−4x+3f(x) = 6x^2 - 4x + 3 sur R\mathbb{R}
  2. g(x)=e2x+1xg(x) = e^{2x} + \dfrac1x sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[
  3. h(x)=1x2h(x) = \dfrac{1}{x^2} sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[
  4. k(t)=5e−0,5tk(t) = 5e^{-0{,}5t} sur R\mathbb{R}
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  1. F(x)=2x3−2x2+3xF(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x.
  2. G(x)=e2x2+ln⁡xG(x) = \dfrac{e^{2x}}{2} + \ln x.
  3. h(x)=x−2h(x) = x^{-2} : H(x)=x−1−1=−1xH(x) = \dfrac{x^{-1}}{-1} = -\dfrac1x.
  4. K(t)=5×e−0,5t−0,5=−10e−0,5tK(t) = 5 \times \dfrac{e^{-0{,}5t}}{-0{,}5} = -10e^{-0{,}5t}.

Exercice 3 — ⭐⭐

  1. Détermine une primitive de f(x)=3x2(x3+2)f(x) = 3x^2(x^3 + 2), de g(x)=2xex2−1g(x) = 2xe^{x^2 - 1} et de h(x)=2xx2+5h(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 5} sur R\mathbb{R}.
  2. Détermine la primitive FF de f(x)=4x−e−xf(x) = 4x - e^{-x} sur R\mathbb{R} telle que F(0)=3F(0) = 3.
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  1. f=u′uf = u'u avec u=x3+2u = x^3 + 2 : F(x)=12(x3+2)2F(x) = \dfrac12(x^3 + 2)^2. g=u′eug = u'e^u avec u=x2−1u = x^2 - 1 : G(x)=ex2−1G(x) = e^{x^2 - 1}. h=u′uh = \dfrac{u'}{u} avec u=x2+5>0u = x^2 + 5 > 0 : H(x)=ln⁡(x2+5)H(x) = \ln(x^2 + 5).
  2. F(x)=2x2+e−x+CF(x) = 2x^2 + e^{-x} + C ; F(0)=1+C=3F(0) = 1 + C = 3, donc C=2C = 2 : F(x)=2x2+e−x+2F(x) = 2x^2 + e^{-x} + 2.

3. L’équation y’ = ay

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Exercice 4 — ⭐⭐

  1. Résous y′=0,3yy' = 0{,}3y, puis détermine la solution telle que y(0)=50y(0) = 50.
  2. Culture de bactéries. Le nombre de bactéries N(t)N(t) (tt en heures) vérifie N′=0,7NN' = 0{,}7N et N(0)=1 000N(0) = 1\,000. Détermine N(t)N(t), puis le temps de doublement de la population.
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  1. y=Ce0,3xy = Ce^{0{,}3x} ; y(0)=C=50y(0) = C = 50 : y=50e0,3xy = 50e^{0{,}3x}.
  2. N(t)=1 000e0,7tN(t) = 1\,000e^{0{,}7t}. N(t)=2 000  ⟺  e0,7t=2  ⟺  t=ln⁡20,7≈0,99N(t) = 2\,000 \iff e^{0{,}7t} = 2 \iff t = \dfrac{\ln 2}{0{,}7} \approx 0{,}99 h : environ une heure.

4. L’équation y’ = ay + b

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Exercice 5 — ⭐⭐

  1. Résous y′=2y−6y' = 2y - 6 et détermine la solution telle que y(0)=1y(0) = 1.
  2. Résous y′+0,5y=3y' + 0{,}5y = 3 et détermine la solution telle que y(0)=0y(0) = 0. Quelle est sa limite en +∞+\infty ?
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  1. Solution constante : 0=2y−60 = 2y - 6, y=3y = 3. Solutions : y=Ce2x+3y = Ce^{2x} + 3. y(0)=C+3=1y(0) = C + 3 = 1 : C=−2C = -2, y=3−2e2xy = 3 - 2e^{2x}.
  2. y′=−0,5y+3y' = -0{,}5y + 3 ; solution constante 66 ; y=Ce−0,5x+6y = Ce^{-0{,}5x} + 6 ; y(0)=0y(0) = 0 donne C=−6C = -6 : y=6−6e−0,5xy = 6 - 6e^{-0{,}5x}, qui tend vers 66.

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Chute d’une goutte. La vitesse v(t)v(t) (en m/s) d’une goutte d’eau qui tombe dans l’air vérifie v′=−2v+9,8v' = -2v + 9{,}8, avec v(0)=0v(0) = 0.

  1. Résous cette équation différentielle et donne v(t)v(t).
  2. Détermine la limite de v(t)v(t) quand t→+∞t \to +\infty (vitesse limite).
  3. Au bout de combien de temps la goutte atteint-elle 95 %95\,\% de sa vitesse limite ?
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  1. Solution constante : v=4,9v = 4{,}9. v(t)=Ce−2t+4,9v(t) = Ce^{-2t} + 4{,}9 et v(0)=0v(0) = 0 donne C=−4,9C = -4{,}9 : v(t)=4,9(1−e−2t)v(t) = 4{,}9(1 - e^{-2t}).
  2. e−2t→0e^{-2t} \to 0 : v(t)→4,9v(t) \to 4{,}9 m/s.
  3. 4,9(1−e−2t)⩾0,95×4,9  ⟺  e−2t⩽0,05  ⟺  t⩾−ln⁡0,052≈1,504{,}9(1 - e^{-2t}) \geqslant 0{,}95 \times 4{,}9 \iff e^{-2t} \leqslant 0{,}05 \iff t \geqslant \dfrac{-\ln 0{,}05}{2} \approx 1{,}50 s.

5. Méthode d’Euler

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Exercice 7 — ⭐⭐

On considère y′=yy' = y avec y(0)=1y(0) = 1 (dont la solution est exp⁡\exp).

  1. Avec un pas h=0,5h = 0{,}5, calcule à la main les approximations de y(0,5)y(0{,}5) et y(1)y(1).
  2. Utilise la fonction euler du cours (avec a=1a = 1, b=0b = 0) pour un pas h=0,01h = 0{,}01 et 100100 pas. Compare avec ee.
  3. Montre qu’avec un pas h=1nh = \dfrac1n, l’approximation de y(1)y(1) vaut (1+1n)n\left(1 + \dfrac1n\right)^n.
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  1. y(0,5)≈1+0,5×1=1,5y(0{,}5) \approx 1 + 0{,}5 \times 1 = 1{,}5 ; y(1)≈1,5+0,5×1,5=2,25y(1) \approx 1{,}5 + 0{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25.
  2. euler(1, 0, 0, 1, 0.01, 100)[-1] donne y(1)≈2,7048y(1) \approx 2{,}7048, contre e≈2,7183e \approx 2{,}7183.
  3. À chaque pas, yy est multiplié par 1+h1 + h ; après nn pas de longueur 1n\dfrac1n : (1+1n)n\left(1 + \dfrac1n\right)^n (qui tend vers ee).