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Nombres premiers et petit théorème de Fermat — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

$91$ est-il premier ?
Décompose $84$ en produit de facteurs premiers.
Combien $2^3 \times 5^2$ a-t-il de diviseurs positifs ?
$\text{PGCD}(2^3 \times 3 \times 7\,;\,2 \times 3^2 \times 5)$ ?
Jusqu'à quel nombre faut-il tester les diviseurs premiers pour savoir si $150$ est premier ?
$5^{16} \equiv \,?\ [17]$ ?
$2^{11} \equiv \,?\ [11]$ ?
Un nombre premier $p > 2$ est-il pair ou impair ?

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Non : $91 = 7 \times 13$ .
$84 = 2^2 \times 3 \times 7$ .
$(3 + 1)(2 + 1) = 12$ .
Facteurs communs avec le plus petit exposant : $2 \times 3 = 6$ .
Jusqu'à $\sqrt{150} \approx 12{,}2$ , donc les premiers $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ (en fait $2$ suffit : $150$ est pair).
$17$ est premier et ne divise pas $5$ : $5^{16} \equiv 1\ [17]$ .
$2^{11} \equiv 2\ [11]$ (Fermat : $a^p \equiv a$ ).
Impair (sinon il serait divisible par $2$ et différent de $2$ ).

Exercice 2 (3 points) — Démonstration de cours

Démontre que l'ensemble des nombres premiers est infini.

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Par l'absurde, supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers $p_1$ , …, $p_k$ . Soit $N = p_1 p_2 \dots p_k + 1 \geqslant 2$ . $N$ admet un diviseur premier, donc l'un des $p_i$ . Ce $p_i$ divise $N$ et le produit $p_1 \dots p_k$ , donc leur différence $1$ : impossible. Il y a donc une infinité de nombres premiers.

Exercice 3 (5 points) — Diviseurs

Décompose $2\,025$ et $1\,350$ en produits de facteurs premiers. (2 points)
Détermine le nombre de diviseurs positifs de $2\,025$ . (1 point)
Détermine $\text{PGCD}(2\,025\,;\,1\,350)$ et simplifie $\dfrac{1\,350}{2\,025}$ . (2 points)

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$2\,025 = 3^4 \times 5^2$ ; $1\,350 = 2 \times 3^3 \times 5^2$ .
$(4 + 1)(2 + 1) = 15$ diviseurs positifs.
$\text{PGCD} = 3^3 \times 5^2 = 675$ . $\dfrac{1\,350}{2\,025} = \dfrac{675 \times 2}{675 \times 3} = \dfrac23$ .

Exercice 4 (5 points) — Fermat

Justifie que $2^{12} \equiv 1\ [13]$ . (1 point)
Détermine le reste de $2^{500}$ dans la division par $13$ . (2 points)
Montre que pour tout entier naturel $k$ , $2^{12k + 6} + 1$ est divisible par $13$ . (2 points)

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$13$ est premier et ne divise pas $2$ : par le petit théorème de Fermat, $2^{13 - 1} = 2^{12} \equiv 1\ [13]$ .
$500 = 12 \times 41 + 8$ : $2^{500} = (2^{12})^{41} \times 2^8 \equiv 2^8 = 256\ [13]$ . Or $256 = 13 \times 19 + 9$ : le reste est $9$ .
$2^{12k + 6} = (2^{12})^k \times 2^6 \equiv 64\ [13]$ et $64 = 13 \times 4 + 12 \equiv -1\ [13]$ . Donc $2^{12k+6} + 1 \equiv 0\ [13]$ .

Exercice 5 (3 points) — Un peu de raisonnement

Soit $p \geqslant 5$ un nombre premier.

Explique pourquoi $p$ est de la forme $6k + 1$ ou $6k + 5$ . (1,5 point)
En déduire que $p^2 - 1$ est divisible par $24$ (on pourra calculer $p^2 - 1$ dans chaque cas). (1,5 point)

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Tout entier s'écrit $6k$ , $6k + 1$ , …, $6k + 5$ . Les formes $6k$ , $6k + 2$ , $6k + 4$ sont paires, $6k + 3$ est multiple de $3$ : comme $p \geqslant 5$ est premier, il n'est divisible ni par $2$ ni par $3$ . Il reste $6k + 1$ et $6k + 5$ .
Si $p = 6k + 1$ : $p^2 - 1 = 36k^2 + 12k = 12k(3k + 1)$ . Si $k$ est pair, $24 \mid 12k$ ; si $k$ est impair, $3k + 1$ est pair : dans les deux cas $24 \mid p^2 - 1$ . Si $p = 6k + 5$ : $p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1) = (6k + 4)(6k + 6) = 12(3k + 2)(k + 1)$ ; l'un de $3k + 2$ et $k + 1$ est pair (si $k$ est pair, $3k + 2$ l'est ; sinon $k + 1$ l'est) : $24 \mid p^2 - 1$ .