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Matrices : calcul matriciel et applications — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

Taille du produit d'une matrice $3 \times 2$ par une matrice $2 \times 4$ ?
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ ?
$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$ ?
Déterminant de $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ ?
Inverse de $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ ?
$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}^3$ ?
$I_2 \times A$ pour une matrice carrée $A$ d'ordre 2 ?
$U_{n+1} = AU_n$ : exprime $U_n$ en fonction de $U_0$ .

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$3 \times 4$ .
$\begin{pmatrix} 11 \end{pmatrix}$ ( $3 + 8$ ).
$\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$ .
$6 - 5 = 1$ .
$\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ .
$\begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 27 \end{pmatrix}$ .
$A$ .
$U_n = A^nU_0$ .

Exercice 2 (5 points) — Système

On considère le système $(S)$ : $\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + y + z = 6 \end{cases}$ .

Écris $(S)$ sous la forme $AX = B$ . (1 point)
À la calculatrice, détermine $A^{-1}$ (on pourra vérifier que $\det A \neq 0$ ). (2 points)
Résous le système. (2 points)

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$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ , $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ .
$\det A = -7 \neq 0$ et $A^{-1} = \dfrac17\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix}$ .
$X = A^{-1}B = \dfrac17\begin{pmatrix} 4 + 9 - 6 \\ 2 - 6 + 18 \\ -6 - 3 + 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ : $x = 1$ , $y = 2$ , $z = 3$ .

Exercice 3 (6 points) — Puissances

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Calcule $A^2$ et $A^3$ . (1 point)
Démontre par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 0$ , $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ . (3 points)
Une suite de colonnes vérifie $U_{n+1} = AU_n$ avec $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Exprime $U_n$ , puis ses deux coefficients, en fonction de $n$ . (2 points)

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$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ , $A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$ .
Initialisation : $A^0 = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $2^0 - 1 = 0$ , $2^0 = 1$ ✓. Hérédité : si $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ , alors $A^{n+1} = A^nA = \begin{pmatrix} 1 & 1 + 2(2^n - 1) \\ 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2^{n+1} - 1 \\ 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix}$ . La formule est vraie pour tout $n$ .
$U_n = A^nU_0 = \begin{pmatrix} 1 + 2^n - 1 \\ 2^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^n \\ 2^n \end{pmatrix}$ : les deux coefficients valent $2^n$ .

Exercice 4 (5 points) — Deux espèces

Dans une réserve, on étudie deux populations (en centaines) : $p_n$ de proies et $q_n$ de prédateurs, l'année $n$ . On modélise : $p_{n+1} = 1{,}2p_n - 0{,}2q_n$ et $q_{n+1} = 0{,}1p_n + 0{,}8q_n$ , avec $p_0 = 10$ et $q_0 = 2$ .

Écris le modèle sous la forme $U_{n+1} = MU_n$ . (1 point)
Calcule $U_1$ et $U_2$ . (2 points)
Avec la calculatrice ou Python, calcule $U_{10}$ et $U_{20}$ (valeurs arrondies au dixième). Que semble-t-il se passer ? (2 points)

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$U_n = \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix}$ et $M = \begin{pmatrix} 1{,}2 & -0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ .
$U_1 = \begin{pmatrix} 12 - 0{,}4 \\ 1 + 1{,}6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11{,}6 \\ 2{,}6 \end{pmatrix}$ ; $U_2 = \begin{pmatrix} 13{,}92 - 0{,}52 \\ 1{,}16 + 2{,}08 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13{,}4 \\ 3{,}24 \end{pmatrix}$ .
$U_{10} \approx \begin{pmatrix} 39{,}9 \\ 11{,}5 \end{pmatrix}$ et $U_{20} \approx \begin{pmatrix} 150{,}1 \\ 43{,}9 \end{pmatrix}$ . Les deux populations augmentent (d'environ $14\,\%$ par an sur la fin) et le rapport $\dfrac{p_n}{q_n}$ semble se stabiliser autour de $3{,}4$ . Le modèle n'est réaliste que sur une courte durée (croissance sans limite).