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Terminale

Matrices : calcul matriciel et applications — Exercices d'application

1. Vocabulaire

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Exercice 1 — ⭐

  1. Écris la matrice AA de taille 2×32 \times 3 définie par aij=i+2ja_{ij} = i + 2j.
  2. Écris la matrice carrée BB d’ordre 33 définie par bij=1b_{ij} = 1 si i⩽ji \leqslant j et bij=0b_{ij} = 0 sinon.
  3. Détermine les réels xx et yy tels que (x+y21x−y)=(5211)\begin{pmatrix} x + y & 2 \\ 1 & x - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
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  1. A=(357468)A = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 7 \\ 4 & 6 & 8 \end{pmatrix}.
  2. B=(111011001)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} (matrice « triangulaire supérieure »).
  3. x+y=5x + y = 5 et x−y=1x - y = 1 : x=3x = 3, y=2y = 2.

2. Opérations sur les matrices

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Exercice 2 — ⭐⭐

On pose A=(1−230)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, B=(21−14)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} et C=(102−131)C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calcule A+BA + B, 3A−2B3A - 2B, ABAB et BABA. Que remarques-tu ?
  2. Le produit ACAC est-il défini ? Et CACA ? Calcule celui qui existe.
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  1. A+B=(3−124)A + B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} ; 3A−2B=(−1−811−8)3A - 2B = \begin{pmatrix} -1 & -8 \\ 11 & -8 \end{pmatrix} ; AB=(4−763)AB = \begin{pmatrix} 4 & -7 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} ; BA=(5−4112)BA = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 11 & 2 \end{pmatrix}. AB≠BAAB \neq BA : le produit n’est pas commutatif.
  2. AA est 2×22 \times 2, CC est 2×32 \times 3 : ACAC existe (2×32 \times 3), CACA non (3 colonnes pour CC, 2 lignes pour AA). AC=(3−60306)AC = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 0 \\ 3 & 0 & 6 \end{pmatrix}.

3. Puissances d’une matrice carrée

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Exercice 3 — ⭐⭐

  1. Calcule D5D^5 pour D=(200−1)D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
  2. Soit N=(011001000)N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. Calcule N2N^2 et N3N^3. Que vaut NnN^n pour n⩾3n \geqslant 3 ?
  3. Soit A=(3011)A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. Montre par récurrence que An=(3n03n−121)A^n = \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ \frac{3^n - 1}{2} & 1 \end{pmatrix}.
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  1. D5=(3200−1)D^5 = \begin{pmatrix} 32 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
  2. N2=(001000000)N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, N3=0N^3 = 0, donc Nn=N3Nn−3=0N^n = N^3N^{n-3} = 0 pour n⩾3n \geqslant 3.
  3. Pour n=0n = 0 : (1001)=I\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I ✓. Hérédité : An+1=AnA=(3n03n−121)(3011)=(3n+103(3n−1)2+11)A^{n+1} = A^nA = \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ \frac{3^n - 1}{2} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3^{n+1} & 0 \\ \frac{3(3^n - 1)}{2} + 1 & 1 \end{pmatrix} et 3n+1−32+1=3n+1−12\dfrac{3^{n+1} - 3}{2} + 1 = \dfrac{3^{n+1} - 1}{2} : la formule est vraie au rang n+1n + 1.

Exercice 4 — ⭐⭐⭐

On pose A=(4−211)A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, P=(1211)P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} et D=(2003)D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Calcule P−1P^{-1} et vérifie que A=PDP−1A = PDP^{-1}.
  2. Montre par récurrence que An=PDnP−1A^n = PD^nP^{-1} pour tout entier n⩾1n \geqslant 1.
  3. En déduire les coefficients de AnA^n en fonction de nn.
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  1. det⁡P=1−2=−1\det P = 1 - 2 = -1, P−1=−(1−2−11)=(−121−1)P^{-1} = -\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}. PD=(2623)PD = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} et PDP−1=(−2+64−6−2+34−3)=(4−211)=APDP^{-1} = \begin{pmatrix} -2 + 6 & 4 - 6 \\ -2 + 3 & 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = A.
  2. Vrai pour n=1n = 1. Si An=PDnP−1A^n = PD^nP^{-1}, alors An+1=AnA=PDnP−1PDP−1=PDn+1P−1A^{n+1} = A^nA = PD^nP^{-1}PDP^{-1} = PD^{n+1}P^{-1}.
  3. PDn=(2n2×3n2n3n)PD^n = \begin{pmatrix} 2^n & 2 \times 3^n \\ 2^n & 3^n \end{pmatrix}, puis An=(−2n+2×3n2n+1−2×3n−2n+3n2n+1−3n)A^n = \begin{pmatrix} -2^n + 2 \times 3^n & 2^{n+1} - 2 \times 3^n \\ -2^n + 3^n & 2^{n+1} - 3^n \end{pmatrix}.

4. Inverse d’une matrice et systèmes linéaires

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Exercice 5 — ⭐⭐

  1. Les matrices (3264)\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} et (5332)\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} sont-elles inversibles ? Calcule l’inverse quand il existe.
  2. Résous le système {5x+3y=13x+2y=2\begin{cases} 5x + 3y = 1 \\ 3x + 2y = 2 \end{cases} par le calcul matriciel.
  3. Interpolation. On cherche une parabole y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c passant par (1 ; 2)(1\,;\,2), (2 ; 3)(2\,;\,3) et (3 ; 6)(3\,;\,6). Écris le système sous la forme MX=YMX = Y, puis résous-le à la calculatrice ou avec numpy.linalg.solve.
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  1. 3×4−2×6=03 \times 4 - 2 \times 6 = 0 : la première n’est pas inversible. 5×2−3×3=15 \times 2 - 3 \times 3 = 1 : la seconde l’est, d’inverse (2−3−35)\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}.
  2. X=(2−3−35)(12)=(−47)X = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \end{pmatrix} : x=−4x = -4, y=7y = 7.
  3. M=(111421931)M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix}, X=(abc)X = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, Y=(236)Y = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}. On trouve a=1a = 1, b=−2b = -2, c=3c = 3 : y=x2−2x+3y = x^2 - 2x + 3.

5. Représenter des transformations du plan

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Exercice 6 — ⭐⭐

On note RR la matrice de la rotation de centre OO d’angle π2\dfrac\pi2 et SS celle de la symétrie d’axe (Ox)(Ox).

  1. Écris RR et SS. Calcule l’image du point M(3 ; 1)M(3\,;\,1) par la rotation.
  2. Calcule R2R^2 et R4R^4. Interprète.
  3. Calcule SRSR et RSRS. L’ordre dans lequel on enchaîne les transformations compte-t-il ?
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  1. R=(0−110)R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, S=(100−1)S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. RM=(−13)RM = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} : M′(−1 ; 3)M'(-1\,;\,3).
  2. R2=(−100−1)=−IR^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I (rotation d’angle π\pi, symétrie de centre OO) ; R4=IR^4 = I (quatre quarts de tour).
  3. SR=(0−1−10)SR = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} et RS=(0110)RS = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} : différents, l’ordre compte.

6. Suites de matrices colonnes

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Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Deux suites sont définies par u0=1u_0 = 1, v0=0v_0 = 0 et, pour tout nn : un+1=0,5un+0,25vn+1u_{n+1} = 0{,}5u_n + 0{,}25v_n + 1 et vn+1=0,25un+0,5vn+1v_{n+1} = 0{,}25u_n + 0{,}5v_n + 1.

  1. Écris la relation sous la forme Un+1=AUn+CU_{n+1} = AU_n + C.
  2. Détermine la matrice colonne SS telle que S=AS+CS = AS + C.
  3. On pose Vn=Un−SV_n = U_n - S. Montre que Vn+1=AVnV_{n+1} = AV_n et en déduire UnU_n en fonction de AnA^n.
  4. À l’aide de Python, calcule U30U_{30} et conjecture la limite de (un)(u_n) et de (vn)(v_n).
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  1. A=(0,50,250,250,5)A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}25 \\ 0{,}25 & 0{,}5 \end{pmatrix}, C=(11)C = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.
  2. S=(st)S = \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} : s=0,5s+0,25t+1s = 0{,}5s + 0{,}25t + 1 et t=0,25s+0,5t+1t = 0{,}25s + 0{,}5t + 1, soit 0,5s−0,25t=10{,}5s - 0{,}25t = 1 et −0,25s+0,5t=1-0{,}25s + 0{,}5t = 1 ; par symétrie s=ts = t, puis 0,25s=10{,}25s = 1 : S=(44)S = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}.
  3. Vn+1=Un+1−S=AUn+C−(AS+C)=A(Un−S)=AVnV_{n+1} = U_{n+1} - S = AU_n + C - (AS + C) = A(U_n - S) = AV_n, donc Vn=AnV0V_n = A^nV_0 et Un=An(U0−S)+SU_n = A^n(U_0 - S) + S.
  4. import numpy as np
A = np.array([[0.5, 0.25], [0.25, 0.5]]); C = np.array([1, 1]); U = np.array([1, 0])
for n in range(30):
    U = A @ U + C
print(U)   # [3.99937... 3.99937...]
    Les deux suites semblent tendre vers 44 (les coefficients de AnA^n tendent vers 00).