Matrices : calcul matriciel et applications

Ce que tu sais déjà. Tu connais les systèmes d’équations, les suites récurrentes et le raisonnement par récurrence (Terminale — Raisonnement par récurrence). Une matrice est un tableau de nombres que l’on sait additionner et multiplier : elle permet d’écrire en une seule ligne un système, une transformation du plan ou l’évolution couplée de plusieurs quantités.

1. Vocabulaire

Définition. Une matrice de taille $n \times p$ est un tableau de nombres réels à $n$ lignes et $p$ colonnes. Le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ se note $a_{ij}$.

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 5 & 4 \end{pmatrix} \text{ est de taille } 2 \times 3,\ a_{12} = -1,\ a_{23} = 4.$$

• Une matrice carrée d’ordre $n$ a $n$ lignes et $n$ colonnes.
• Une matrice ligne a une seule ligne ; une matrice colonne une seule colonne.
• La matrice identité $I_n$ est la matrice carrée d’ordre $n$ avec des $1$ sur la diagonale et des $0$ ailleurs : $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
• La matrice nulle a tous ses coefficients nuls. Une matrice diagonale n’a de coefficients non nuls que sur sa diagonale.

Deux matrices sont égales si elles ont la même taille et les mêmes coefficients.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Opérations sur les matrices

Somme et produit par un réel (matrices de même taille) : on opère coefficient par coefficient.

Produit. Si $A$ est de taille $n \times p$ et $B$ de taille $p \times q$, le produit $AB$ est la matrice $n \times q$ dont le coefficient $(i, j)$ est obtenu en multipliant la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ : $$(AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{ip}b_{pj}.$$

Exemple. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 5 + 2 \times (-1) & 1 \times 0 + 2 \times 2 \\ 3 \times 5 + 4 \times (-1) & 3 \times 0 + 4 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 11 & 8 \end{pmatrix}$.

Propriétés. Le produit est associatif ($(AB)C = A(BC)$) et distributif sur l’addition, et $AI_n = I_nA = A$. Mais :

• il n’est pas commutatif : en général $AB \neq BA$ ;
• $AB = 0$ n’implique pas $A = 0$ ou $B = 0$.

Contre-exemple. Avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ : $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ alors que $A \neq 0$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Puissances d’une matrice carrée

Définition. Pour une matrice carrée $A$ et un entier $n \geqslant 1$ : $A^n = A \times A \times \dots \times A$ ($n$ facteurs), et $A^0 = I$.

Matrice diagonale. $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} a^n & 0 \\ 0 & b^n \end{pmatrix}$ : on élève chaque coefficient diagonal à la puissance $n$.

Diagonalisation (sur des exemples). S’il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$, alors $A^n = PD^nP^{-1}$ (les $P^{-1}P$ intermédiaires se simplifient). L’énoncé fournit en général $P$ et $D$.

À la calculatrice ou en Python (bibliothèque numpy) :

import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [0, 1]])
print(np.linalg.matrix_power(A, 10))   # [[ 1 20] [ 0  1]]

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

4. Inverse d’une matrice et systèmes linéaires

Définition. Une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ est inversible s’il existe une matrice $B$ telle que $AB = BA = I_n$. $B$ est alors unique : c’est l’inverse de $A$, notée $A^{-1}$.

Propriété (ordre 2). $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si son déterminant $\det A = ad - bc$ est non nul, et alors $$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$

Vérification. $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{pmatrix} = (ad - bc)I_2$.

Système linéaire. Le système $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = -1 \end{cases}$ s’écrit $AX = B$ avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 8 \\ -1 \end{pmatrix}$. Si $A$ est inversible, l’unique solution est $X = A^{-1}B$.

Ici $\det A = -2 - 3 = -5$ et $A^{-1} = -\dfrac15\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ ; $X = -\dfrac15\begin{pmatrix} -8 + 3 \\ -8 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ : $x = 1$, $y = 2$.

Ordre 3. On calcule l’inverse à la calculatrice (ou on vérifie qu’une matrice donnée $B$ vérifie $AB = I_3$).

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Représenter des transformations du plan

Un point $M(x\,;\,y)$ est représenté par la colonne $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. Certaines transformations s’écrivent $M' = AM$ :

Enchaîner deux transformations revient à multiplier leurs matrices (la dernière appliquée à gauche).

→ S’entraîner : Exercice 6

6. Suites de matrices colonnes

Suites couplées. Deux suites liées par $\begin{cases} u_{n+1} = au_n + bv_n \\ v_{n+1} = cu_n + dv_n \end{cases}$ s’écrivent $U_{n+1} = AU_n$ avec $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.

Propriété. Si $U_{n+1} = AU_n$ pour tout $n$, alors $U_n = A^nU_0$ (récurrence immédiate).

Avec un terme constant. Si $U_{n+1} = AU_n + C$ et s’il existe une colonne $S$ telle que $S = AS + C$ (état stable), alors $V_n = U_n - S$ vérifie $V_{n+1} = AV_n$, donc $U_n = A^n(U_0 - S) + S$. Si $I - A$ est inversible, $S = (I - A)^{-1}C$.

Exemple (populations). Chaque année, $10\,\%$ des habitants de la ville partent à la campagne et $20\,\%$ des habitants de la campagne partent en ville. Avec $u_n$ (ville) et $v_n$ (campagne) en milliers : $\begin{cases} u_{n+1} = 0{,}9u_n + 0{,}2v_n \\ v_{n+1} = 0{,}1u_n + 0{,}8v_n \end{cases}$, soit $A = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}8 \end{pmatrix}$. Avec $U_0 = \begin{pmatrix} 50 \\ 100 \end{pmatrix}$, $U_1 = AU_0 = \begin{pmatrix} 65 \\ 85 \end{pmatrix}$, et à long terme la répartition se stabilise vers $\begin{pmatrix} 100 \\ 50 \end{pmatrix}$ (état stable : $S = AS$ avec $u + v = 150$).

→ S’entraîner : Exercice 7

À retenir.

• Produit $AB$ : ligne de $A$ × colonne de $B$ ; possible si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ ; $AB \neq BA$ en général.
• $A^n$ : conjecture + récurrence, ou $A = PDP^{-1} \Rightarrow A^n = PD^nP^{-1}$.
• $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ si $ad - bc \neq 0$ ; $AX = B \iff X = A^{-1}B$.
• $U_{n+1} = AU_n \Rightarrow U_n = A^nU_0$ ; avec $C$ : passer par l’état stable $S = AS + C$.