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Terminale

Nombres complexes et géométrie, racines de l'unité — Exercices d'application

1. Interpréter un quotient d’affixes

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Exercice 1 — ⭐

On donne A(2)A(2), B(3+i)B(3 + i) et C(2+2i)C(2 + 2i).

  1. Calcule c−ab−a\dfrac{c - a}{b - a} sous forme algébrique puis exponentielle.
  2. En déduire le rapport ACAB\dfrac{AC}{AB} et une mesure de l’angle (AB→,AC→)\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right).
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  1. 2i1+i=2i(1−i)2=1+i=2eiπ/4\dfrac{2i}{1 + i} = \dfrac{2i(1 - i)}{2} = 1 + i = \sqrt2 e^{i\pi/4}.
  2. ACAB=2\dfrac{AC}{AB} = \sqrt2 et (AB→,AC→)=π4 [2π]\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right) = \dfrac\pi4\ [2\pi]. (Vérification : AB=2AB = \sqrt2, AC=2AC = 2.)

2. Alignement, orthogonalité, triangles

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Exercice 2 — ⭐⭐

  1. Les points A(1−i)A(1 - i), B(3+3i)B(3 + 3i) et C(−1−5i)C(-1 - 5i) sont-ils alignés ?
  2. Soit A(1)A(1), B(2+2i)B(2 + 2i) et C(−1+i)C(-1 + i). Montre que le triangle ABCABC est rectangle en AA. Est-il isocèle ?
  3. Soit A(0)A(0), B(2)B(2) et C(1+i3)C(1 + i\sqrt3). Montre que ABCABC est équilatéral.
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  1. c−ab−a=−2−4i2+4i=−1\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{-2 - 4i}{2 + 4i} = -1 : réel, donc les points sont alignés (AA est même le milieu de [BC][BC]).
  2. c−ab−a=−2+i1+2i=(−2+i)(1−2i)5=−2+4i+i+25=i\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{-2 + i}{1 + 2i} = \dfrac{(-2 + i)(1 - 2i)}{5} = \dfrac{-2 + 4i + i + 2}{5} = i : rectangle et isocèle en AA.
  3. c−ab−a=1+i32=eiπ/3\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{1 + i\sqrt3}{2} = e^{i\pi/3} : AB=ACAB = AC et l’angle en AA vaut π3\dfrac\pi3, donc ABCABC est équilatéral.

Exercice 3 — ⭐⭐⭐

Carrés construits sur les côtés d’un triangle. Soit A(a)A(a), B(b)B(b), C(c)C(c) trois points. On construit, à l’extérieur du triangle, le carré ABDEABDE et le carré ACFGACFG (sens direct) tels que EE est l’image de BB par la rotation de centre AA d’angle π2\dfrac\pi2 et GG l’image de CC par la rotation de centre AA d’angle −π2-\dfrac\pi2. On admet que e−a=i(b−a)e - a = i(b - a) et g−a=−i(c−a)g - a = -i(c - a).

  1. Exprime g−eg - e en fonction de b−ab - a et c−ac - a.
  2. Soit II le milieu de [BC][BC]. On note m=b+c2m = \dfrac{b + c}{2} l’affixe de II. Montre que g−e=−2i(m−a)g - e = -2i(m - a).
  3. En déduire que (EG)⊥(AI)(EG) \perp (AI) et que EG=2AIEG = 2AI.
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  1. g−e=(g−a)−(e−a)=−i(c−a)−i(b−a)=−i(b+c−2a)g - e = (g - a) - (e - a) = -i(c - a) - i(b - a) = -i(b + c - 2a).
  2. m−a=b+c−2a2m - a = \dfrac{b + c - 2a}{2}, donc −2i(m−a)=−i(b+c−2a)=g−e-2i(m - a) = -i(b + c - 2a) = g - e.
  3. g−em−a=−2i\dfrac{g - e}{m - a} = -2i est imaginaire pur : EG→⊥AI→\overrightarrow{EG} \perp \overrightarrow{AI}. Et ∣g−e∣=2∣m−a∣|g - e| = 2|m - a|, soit EG=2AIEG = 2AI.

3. Racines n-ièmes de l’unité

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Exercice 4 — ⭐⭐

  1. Écris les éléments de U6\mathbb{U}_6 sous forme exponentielle puis algébrique.
  2. Vérifie que j=e2iπ/3j = e^{2i\pi/3} vérifie j3=1j^3 = 1, jˉ=j2\bar j = j^2 et 1+j+j2=01 + j + j^2 = 0.
  3. Calcule (1+j)6(1 + j)^{6} (on remarquera que 1+j=−j21 + j = -j^2).
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  1. eikπ/3e^{ik\pi/3}, k=0,…,5k = 0, \dots, 5 : 11, 12+32i\dfrac12 + \dfrac{\sqrt3}{2}i, −12+32i-\dfrac12 + \dfrac{\sqrt3}{2}i, −1-1, −12−32i-\dfrac12 - \dfrac{\sqrt3}{2}i, 12−32i\dfrac12 - \dfrac{\sqrt3}{2}i.
  2. j3=e2iπ=1j^3 = e^{2i\pi} = 1 ; jˉ=e−2iπ/3=e4iπ/3=j2\bar j = e^{-2i\pi/3} = e^{4i\pi/3} = j^2 ; 1+j+j2=1+(−12+32i)+(−12−32i)=01 + j + j^2 = 1 + \left(-\dfrac12 + \dfrac{\sqrt3}{2}i\right) + \left(-\dfrac12 - \dfrac{\sqrt3}{2}i\right) = 0.
  3. 1+j=−j21 + j = -j^2, donc (1+j)6=j12=(j3)4=1(1 + j)^6 = j^{12} = (j^3)^4 = 1.

Exercice 5 — ⭐⭐⭐

Pentagone régulier. Soit ω=e2iπ/5\omega = e^{2i\pi/5}.

  1. Justifie que 1+ω+ω2+ω3+ω4=01 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0.
  2. On pose α=ω+ω4\alpha = \omega + \omega^4 et β=ω2+ω3\beta = \omega^2 + \omega^3. Montre que α=2cos⁡2π5\alpha = 2\cos\dfrac{2\pi}{5}, que α+β=−1\alpha + \beta = -1 et que αβ=−1\alpha\beta = -1.
  3. En déduire que α\alpha est solution de x2+x−1=0x^2 + x - 1 = 0, puis que cos⁡2π5=5−14\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}.
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  1. C’est la somme des racines 55-ièmes de l’unité : ω5−1ω−1=0\dfrac{\omega^5 - 1}{\omega - 1} = 0 car ω≠1\omega \neq 1.
  2. ω4=e8iπ/5=e−2iπ/5=ωˉ\omega^4 = e^{8i\pi/5} = e^{-2i\pi/5} = \bar\omega, donc α=ω+ωˉ=2cos⁡2π5\alpha = \omega + \bar\omega = 2\cos\dfrac{2\pi}{5}. α+β=−1\alpha + \beta = -1 d’après la question 1. αβ=ω3+ω4+ω6+ω7=ω3+ω4+ω+ω2=−1\alpha\beta = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 (car ω5=1\omega^5 = 1).
  3. α\alpha et β\beta ont pour somme −1-1 et pour produit −1-1 : ce sont les racines de x2+x−1=0x^2 + x - 1 = 0, soit −1±52\dfrac{-1 \pm \sqrt5}{2}. Comme cos⁡2π5>0\cos\dfrac{2\pi}{5} > 0, α=−1+52\alpha = \dfrac{-1 + \sqrt5}{2} et cos⁡2π5=5−14\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}.

4. Racines n-ièmes d’un nombre complexe

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Exercice 6 — ⭐⭐

  1. Résous dans C\mathbb{C} l’équation z4=−16z^4 = -16 et place les solutions dans le plan. Quelle figure forment-elles ?
  2. Résous z2=2iz^2 = 2i en cherchant zz sous forme exponentielle, puis vérifie en élevant au carré.
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  1. −16=16eiπ-16 = 16e^{i\pi} : zk=2ei(π+2kπ)/4z_k = 2e^{i(\pi + 2k\pi)/4}, k=0,1,2,3k = 0, 1, 2, 3 : 2+i2\sqrt2 + i\sqrt2, −2+i2-\sqrt2 + i\sqrt2, −2−i2-\sqrt2 - i\sqrt2, 2−i2\sqrt2 - i\sqrt2. Ces quatre points forment un carré de centre OO.
  2. 2i=2eiπ/22i = 2e^{i\pi/2} : z=2eiπ/4=1+iz = \sqrt2e^{i\pi/4} = 1 + i ou z=2ei5π/4=−1−iz = \sqrt2e^{i5\pi/4} = -1 - i. Vérification : (1+i)2=2i(1 + i)^2 = 2i.