Terminale⏱ 2 semaines

Nombres complexes et géométrie, racines de l'unité

Ce que tu vas apprendre

Interpréter géométriquement le module et un argument de (c − a)/(b − a)
Démontrer un alignement ou une orthogonalité avec les nombres complexes
Reconnaître un triangle isocèle, rectangle, équilatéral grâce à un quotient d'affixes
Déterminer l'ensemble 𝕌ₙ des racines n-ièmes de l'unité
Utiliser les racines de l'unité pour étudier des polygones réguliers

Notions clés|(c − a)/(b − a)| = AC/ABarg((c − a)/(b − a)) = (AB, AC)quotient réel ⟺ alignementquotient imaginaire pur ⟺ orthogonalitéracines n-ièmes de l'unité e^(2ikπ/n)polygone régulier

Ce que tu sais déjà. Tu sais écrire un nombre complexe sous forme exponentielle et calculer l’argument d’un quotient (Forme exponentielle), et tu connais les affixes de vecteurs et les distances (Module, argument, forme trigonométrique). Ici, les nombres complexes deviennent un outil de démonstration en géométrie plane.

1. Interpréter un quotient d’affixes

Propriété. Pour des points $A$ , $B$ , $C$ d’affixes $a$ , $b$ , $c$ , avec $A \neq B$ et $A \neq C$ : $\left|\frac{c - a}{b - a}\right| = \frac{AC}{AB} \qquad\text{et}\qquad \arg\left(\frac{c - a}{b - a}\right) = \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)\ [2\pi].$

Justification. $|c - a| = AC$ et $|b - a| = AB$ ; $\arg(c - a) = \left(\vec u, \overrightarrow{AC}\right)$ et $\arg(b - a) = \left(\vec u, \overrightarrow{AB}\right)$ ; l’argument d’un quotient est la différence des arguments, et $\left(\vec u, \overrightarrow{AC}\right) - \left(\vec u, \overrightarrow{AB}\right) = \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)$ (relation de Chasles pour les angles orientés).

Le quotient (c − a)/(b − a) a pour module AC/AB et pour argument l'angle orienté (AB, AC).

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Alignement, orthogonalité, triangles

Propriétés. Avec les notations précédentes ( $A$ , $B$ , $C$ distincts) :

$A$ , $B$ , $C$ sont alignés $\iff$ $\dfrac{c - a}{b - a}$ est réel (l’angle vaut $0$ ou $\pi$ ) ;
$(AB) \perp (AC)$ $\iff$ $\dfrac{c - a}{b - a}$ est imaginaire pur (l’angle vaut $\pm\dfrac\pi2$ ).

Triangles particuliers.

Quotient $\dfrac{c - a}{b - a}$	Signification
module $1$	$AB = AC$ : triangle isocèle en $A$
$i$ ou $-i$	triangle rectangle isocèle en $A$
$e^{i\pi/3}$ ou $e^{-i\pi/3}$	triangle équilatéral

📋 Méthode — Nature d'un triangle

Calculer le quotient $\dfrac{c - a}{b - a}$ et l’écrire sous forme algébrique (ou exponentielle).
Interpréter son module (rapport de longueurs) et son argument (angle en $A$ ).

Exemple : $A(1 + i)$ , $B(4 + 2i)$ , $C(4i)$ . $\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{-1 + 3i}{3 + i} = \dfrac{(-1 + 3i)(3 - i)}{10} = \dfrac{-3 + i + 9i + 3}{10} = i$ . Le quotient vaut $i$ : $AC = AB$ et $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \dfrac\pi2$ , donc le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$ .

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. Racines n-ièmes de l’unité

Définition. Soit $n \geqslant 1$ un entier. Une racine $n$ -ième de l’unité est un nombre complexe $z$ tel que $z^n = 1$ . On note $\mathbb{U}_n$ l’ensemble de ces nombres.

Théorème. $\mathbb{U}_n$ contient exactement $n$ éléments : $\mathbb{U}_n = \left\{e^{2ik\pi/n}\ :\ k = 0, 1, \dots, n - 1\right\}.$

🧠 Démonstration (exigible au programme)

Soit $z$ tel que $z^n = 1$ . Alors $|z|^n = |z^n| = 1$ , donc $|z| = 1$ (un réel positif dont la puissance $n$ -ième vaut $1$ ). Écrivons $z = e^{i\theta}$ : $z^n = e^{in\theta} = 1 \iff n\theta = 2k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ) $\iff \theta = \dfrac{2k\pi}{n}$ .

Réciproquement, pour tout entier $k$ , $\left(e^{2ik\pi/n}\right)^n = e^{2ik\pi} = 1$ .

Enfin, $e^{2ik\pi/n} = e^{2ik'\pi/n}$ si et seulement si $k \equiv k'\ [n]$ : les valeurs $k = 0$ , …, $n - 1$ donnent $n$ nombres distincts, et tout autre $k$ redonne l’un d’eux.

Cas particuliers.

$\mathbb{U}_2 = \{1\,;\,-1\}$ ; $\mathbb{U}_4 = \{1\,;\,i\,;\,-1\,;\,-i\}$ .
$\mathbb{U}_3 = \{1\,;\,j\,;\,j^2\}$ avec $j = e^{2i\pi/3} = -\dfrac12 + \dfrac{\sqrt3}{2}i$ ; on a $j^2 = \bar j$ et $1 + j + j^2 = 0$ .

Interprétation géométrique. Pour $n \geqslant 3$ , les images des éléments de $\mathbb{U}_n$ sont les sommets d’un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle trigonométrique, dont un sommet est le point d’affixe $1$ .

Les racines 3ᵉ (triangle équilatéral : 1, j, j²) et 6ᵉ de l'unité (hexagone régulier).

Somme des racines. Pour $n \geqslant 2$ , la somme des racines $n$ -ièmes de l’unité est nulle : avec $\omega = e^{2i\pi/n} \neq 1$ , $1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{n-1} = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0.$

→ S’entraîner : Exercice 4 · Exercice 5

4. Racines n-ièmes d’un nombre complexe

Propriété. Soit $a = re^{i\alpha}$ un complexe non nul. Les solutions de $z^n = a$ sont les $n$ nombres $z_k = r^{1/n}e^{i(\alpha + 2k\pi)/n}, \qquad k = 0, \dots, n - 1.$ On les obtient en multipliant une solution $z_0 = r^{1/n}e^{i\alpha/n}$ par les racines $n$ -ièmes de l’unité.

Exemple. $z^3 = 8i = 8e^{i\pi/2}$ : $z_0 = 2e^{i\pi/6} = \sqrt3 + i$ , $z_1 = 2e^{i5\pi/6} = -\sqrt3 + i$ , $z_2 = 2e^{i3\pi/2} = -2i$ . Leurs images forment un triangle équilatéral de centre $O$ .

→ S’entraîner : Exercice 6

À retenir.

$\left|\dfrac{c - a}{b - a}\right| = \dfrac{AC}{AB}$ et $\arg\dfrac{c - a}{b - a} = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ .
Quotient réel : alignement ; imaginaire pur : angle droit en $A$ ; $\pm i$ : rectangle isocèle ; $e^{\pm i\pi/3}$ : équilatéral.
$\mathbb{U}_n = \{e^{2ik\pi/n},\ 0 \leqslant k \leqslant n - 1\}$ : sommets d’un polygone régulier ; leur somme est nulle ( $n \geqslant 2$ ).
$j = e^{2i\pi/3}$ , $1 + j + j^2 = 0$ . Solutions de $z^n = a$ : une solution fois les racines $n$ -ièmes de l’unité.