Terminale⏱ 1 heure

Nombres complexes et géométrie, racines de l'unité — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

Si $\dfrac{c - a}{b - a} = 3$ , que dire des points $A$ , $B$ , $C$ ?
Si $\dfrac{c - a}{b - a} = -2i$ , que dire de l'angle en $A$ ?
Et du rapport $\dfrac{AC}{AB}$ ?
Éléments de $\mathbb{U}_4$ ?
$j^3$ pour $j = e^{2i\pi/3}$ ?
$1 + j + j^2$ ?
Combien de solutions a l'équation $z^7 = 1$ dans $\mathbb{C}$ ?
Une racine carrée de $-9$ ?

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Le quotient est réel : ils sont alignés.
Imaginaire pur : l'angle en $A$ est droit ( $-\dfrac\pi2$ ).
$|-2i| = 2$ : $AC = 2AB$ .
$1$ , $i$ , $-1$ , $-i$ .
$1$ .
$0$ .
$7$ .
$3i$ (ou $-3i$ ).

Exercice 2 (4 points) — Démonstration de cours

Soit $n \geqslant 1$ . Démontre que les solutions de $z^n = 1$ sont les nombres $e^{2ik\pi/n}$ pour $k \in \{0, 1, \dots, n - 1\}$ .

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Si $z^n = 1$ , alors $|z|^n = 1$ donc $|z| = 1$ ; on écrit $z = e^{i\theta}$ . $e^{in\theta} = 1 \iff n\theta = 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ , soit $\theta = \dfrac{2k\pi}{n}$ . Réciproquement, $\left(e^{2ik\pi/n}\right)^n = e^{2ik\pi} = 1$ . Enfin, $e^{2ik\pi/n} = e^{2ik'\pi/n} \iff \dfrac{2(k - k')\pi}{n} \in 2\pi\mathbb{Z} \iff n \mid k - k'$ : il suffit de prendre $k = 0$ , …, $n - 1$ , qui donnent $n$ solutions distinctes.

Exercice 3 (6 points) — Configuration

On considère $A(1 + i)$ , $B(3 + 2i)$ , $C(2 + 3i)$ et $D(-1 + 5i)$ .

Calcule $\dfrac{c - a}{b - a}$ . Que peux-tu en déduire sur le triangle $ABC$ ? (2 points)
Les points $A$ , $C$ et $D$ sont-ils alignés ? (2 points)
Détermine l'affixe du point $E$ tel que $ABEC$ soit un parallélogramme. Est-ce un losange ? (2 points)

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$\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{1 + 2i}{2 + i} = \dfrac{(1 + 2i)(2 - i)}{5} = \dfrac{4 + 3i}{5}$ . Son module est $\dfrac{\sqrt{16 + 9}}{5} = 1$ : $AC = AB$ , le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ . Il n'est pas rectangle en $A$ (le quotient n'est pas imaginaire pur).
$\dfrac{d - a}{c - a} = \dfrac{-2 + 4i}{1 + 2i} = \dfrac{(-2 + 4i)(1 - 2i)}{5} = \dfrac{6 + 8i}{5}$ n'est pas réel : les points ne sont pas alignés.
$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AC}$ : $e = b + c - a = 4 + 4i$ . Comme $AB = AC$ , deux côtés consécutifs du parallélogramme sont égaux : c'est un losange.

Exercice 4 (6 points) — Hexagone régulier

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^6 = 64$ . (2 points)
Montre que les images des solutions sont les sommets d'un hexagone régulier dont tu préciseras le centre et le côté. (2 points)
Calcule la somme des six solutions. (2 points)

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$64 = 64e^{i0}$ : $z_k = 64^{1/6}e^{2ik\pi/6} = 2e^{ik\pi/3}$ , $k = 0, \dots, 5$ : $2$ , $1 + i\sqrt3$ , $-1 + i\sqrt3$ , $-2$ , $-1 - i\sqrt3$ , $1 - i\sqrt3$ .
Ce sont les racines $6$ -ièmes de l'unité multipliées par $2$ : les points sont sur le cercle de centre $O$ et de rayon $2$ , et deux points consécutifs forment avec $O$ un angle de $\dfrac\pi3$ . Le triangle formé par $O$ et deux sommets consécutifs est équilatéral : le côté de l'hexagone vaut $2$ .
$2(1 + \omega + \dots + \omega^5) = 0$ avec $\omega = e^{i\pi/3}$ (somme des racines $6$ -ièmes de l'unité).