Statistique à deux variables : ajustements et corrélation

Ce que tu sais déjà. Tu connais moyenne, variance et écart type d’une série statistique (Seconde — Statistiques descriptives), les fonctions affines, exponentielle et logarithme (Fonction logarithme népérien). On étudie maintenant le lien entre deux grandeurs mesurées sur les mêmes individus. Thème d’étude associé : « Corrélation et causalité ».

1. Nuage de points et point moyen

Définitions. Une série statistique à deux variables est une liste de couples $(x_i\,;\,y_i)$, $1 \leqslant i \leqslant n$. Le nuage de points est l’ensemble des points $M_i(x_i\,;\,y_i)$ ; le point moyen est $G(\bar x\,;\,\bar y)$.

Exemple. Production d’électricité solaire d’une région (en TWh), $x$ désignant le rang de l’année ($x = 1$ pour 2020).

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y_i$	$2{,}1$	$2{,}9$	$4{,}2$	$4{,}8$	$6{,}1$	$6{,}9$

$\bar x = 3{,}5$ et $\bar y = \dfrac{27}{6} = 4{,}5$ : $G(3{,}5\,;\,4{,}5)$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Droite des moindres carrés

Idée. Parmi toutes les droites $y = ax + b$, on cherche celle qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux $\sum (y_i - ax_i - b)^2$ entre les points et la droite.

Définitions. La variance de $x$ est $V(x) = \dfrac1n\sum(x_i - \bar x)^2$ et la covariance de $x$ et $y$ est $$\text{cov}(x, y) = \frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)(y_i - \bar y).$$

Théorème. La droite des moindres carrés a pour équation $y = ax + b$ avec $$a = \frac{\text{cov}(x, y)}{V(x)} \qquad\text{et}\qquad b = \bar y - a\bar x.$$ Elle passe par le point moyen $G$.

Coefficient de corrélation linéaire. $r = \dfrac{\text{cov}(x, y)}{\sigma(x)\sigma(y)}$ est toujours compris entre $-1$ et $1$. Plus $|r|$ est proche de $1$, plus les points sont proches d’une droite ; le signe de $r$ est celui de la pente. On considère souvent qu’un ajustement affine est pertinent si $|r| \geqslant 0{,}9$ — mais il faut toujours regarder le nuage.

Exemple (suite). À la calculatrice : $\text{cov}(x, y) = 2{,}85$, $V(x) = \dfrac{35}{12}$, donc $a \approx 0{,}977$ et $b = 4{,}5 - 0{,}977 \times 3{,}5 \approx 1{,}08$. Droite : $y \approx 0{,}977x + 1{,}08$ ; $r \approx 0{,}997$.

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. Interpoler, extrapoler

Avec la droite d’ajustement, on estime $y$ pour une valeur de $x$ dans la plage des données (interpolation) ou en dehors (extrapolation, par exemple une prévision).

Exemple. Prévision pour 2027 ($x = 8$) : $y \approx 0{,}977 \times 8 + 1{,}08 \approx 8{,}9$ TWh, si la tendance se poursuit.

Plus on extrapole loin, plus l’estimation est incertaine : une tendance linéaire peut s’infléchir (saturation, ruptures).

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Ajustements par changement de variable

Quand le nuage n’est pas allongé mais a une forme courbe (croissance exponentielle, par exemple), on transforme une variable pour se ramener à un ajustement affine.

Exemple (loi de Moore). Nombre de transistors d’une puce (en millions), $t$ en années :

$t_i$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
$N_i$	$1{,}2$	$2{,}3$	$5{,}1$	$9{,}8$	$21$	$39$

Avec $z = \ln N$, la calculatrice donne $z \approx 0{,}353t + 0{,}175$ ($r \approx 0{,}9995$), d’où $N \approx 1{,}19e^{0{,}353t}$. Le temps de doublement est $\dfrac{\ln 2}{0{,}353} \approx 2$ ans.

Autres changements usuels : $z = \ln x$ (croissance logarithmique), $z = x^2$ ou $z = \sqrt x$, $z = \dfrac1x$.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Corrélation et causalité

Un coefficient de corrélation proche de $\pm 1$ indique un lien statistique, pas une relation de cause à effet :

• les deux grandeurs peuvent dépendre d’un facteur commun (facteur de confusion) ;
• la corrélation peut être une coïncidence (deux grandeurs qui augmentent toutes deux avec le temps) ;
• la causalité peut être inversée.

Exemples. Le nombre de noyades et les ventes de glaces sont corrélés (facteur commun : la chaleur). Dans les communes, le nombre de pompiers présents sur un incendie est corrélé à l’importance des dégâts… parce que les grands incendies mobilisent plus de pompiers.

Pour établir une causalité, il faut une expérience contrôlée (groupes tirés au sort) ou un mécanisme explicatif (loi physique, biologique).

→ S’entraîner : Exercice 6

À retenir.

• Point moyen $G(\bar x\,;\,\bar y)$ ; $\text{cov}(x, y) = \dfrac1n\sum(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)$.
• Moindres carrés : $a = \dfrac{\text{cov}(x, y)}{V(x)}$, $b = \bar y - a\bar x$ ; la droite passe par $G$.
• $r = \dfrac{\text{cov}(x, y)}{\sigma(x)\sigma(y)} \in [-1\,;\,1]$ ; $|r|$ proche de $1$ : bon ajustement affine.
• Ajustement exponentiel : $z = \ln y$ affine en $x$ $\Rightarrow$ $y = Ke^{\alpha x}$.
• Corrélation $\neq$ causalité ; extrapoler avec prudence.