Terminale

Statistique à deux variables : ajustements et corrélation — Exercices d'application

1. Nuage de points et point moyen

Exercice 1 — ⭐

Un magasin teste différents prix $x$ (en €) pour un article et relève le nombre $y$ d’articles vendus (en centaines) sur un mois.

$x_i$	$10$	$15$	$20$	$25$	$30$
$y_i$	$62$	$55$	$50$	$41$	$37$

Représente le nuage de points.
Calcule les coordonnées du point moyen $G$ .
Un ajustement affine semble-t-il pertinent ?

Voir le corrigé

Les points sont presque alignés, sur une droite descendante.
$\bar x = \dfrac{100}{5} = 20$ ; $\bar y = \dfrac{245}{5} = 49$ : $G(20\,;\,49)$ .
Oui : le nuage est allongé.

2. Droite des moindres carrés

↩ Revoir le cours

Exercice 2 — ⭐⭐

On reprend l’exercice 1.

Calcule $V(x)$ et $\text{cov}(x, y)$ (on pourra présenter les calculs dans un tableau des écarts $x_i - \bar x$ et $y_i - \bar y$ ).
En déduire l’équation de la droite des moindres carrés.
Vérifie à la calculatrice et donne le coefficient de corrélation. Interprète son signe.

Voir le corrigé

Écarts $x_i - \bar x$ : $-10$ , $-5$ , $0$ , $5$ , $10$ ; écarts $y_i - \bar y$ : $13$ , $6$ , $1$ , $-8$ , $-12$ . $V(x) = \dfrac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{5} = 50$ ; $\text{cov}(x, y) = \dfrac{-130 - 30 + 0 - 40 - 120}{5} = -64$ .
$a = \dfrac{-64}{50} = -1{,}28$ ; $b = 49 - (-1{,}28) \times 20 = 74{,}6$ : $y = -1{,}28x + 74{,}6$ .
$r \approx -0{,}995$ : corrélation très forte et négative (les ventes baissent quand le prix augmente).

Exercice 3 — ⭐⭐

Montre, à partir de la formule $b = \bar y - a\bar x$ , que la droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen.
Écris une fonction Python moindres_carres(X, Y) qui renvoie $a$ et $b$ , et teste-la sur les données de l’exercice 1.

Voir le corrigé

Au point d’abscisse $\bar x$ , la droite donne $a\bar x + b = a\bar x + \bar y - a\bar x = \bar y$ : elle passe par $G(\bar x\,;\,\bar y)$ .

def moindres_carres(X, Y):
    n = len(X)
    mx, my = sum(X) / n, sum(Y) / n
    cov = sum((x - mx) * (y - my) for x, y in zip(X, Y)) / n
    var = sum((x - mx) ** 2 for x in X) / n
    a = cov / var
    return a, my - a * mx

print(moindres_carres([10, 15, 20, 25, 30], [62, 55, 50, 41, 37]))   # (-1.28, 74.6)

3. Interpoler, extrapoler

↩ Revoir le cours

Exercice 4 — ⭐⭐

Avec l’ajustement $y = -1{,}28x + 74{,}6$ de l’exercice 2 :

Estime les ventes pour un prix de $18$ €. Interpolation ou extrapolation ?
Estime les ventes pour un prix de $40$ €, puis le prix pour lequel le modèle prévoit $0$ vente. Qu’en penses-tu ?
Pour quel prix la recette $R = x \times 100y$ (en €) est-elle maximale selon ce modèle ?

Voir le corrigé

$y \approx 51{,}56$ , soit environ $5\,156$ articles : interpolation ( $18 \in [10\,;\,30]$ ).
$y \approx 23{,}4$ (extrapolation, prudence). $y = 0$ pour $x \approx 58{,}3$ € : très loin des données, le modèle linéaire n’a plus de raison d’être valable.
$R(x) = 100x(-1{,}28x + 74{,}6) = -128x^2 + 7\,460x$ : maximum pour $x = \dfrac{7\,460}{256} \approx 29{,}14$ €.

4. Ajustements par changement de variable

↩ Revoir le cours

Exercice 5 — ⭐⭐⭐

La concentration $c$ d’un médicament dans le sang (en µg/L) est mesurée $t$ heures après l’injection.

$t_i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$c_i$	$200$	$150$	$112$	$85$	$63$

Calcule $z_i = \ln c_i$ (au centième) et représente le nuage $(t_i\,;\,z_i)$ .
À la calculatrice, détermine la droite des moindres carrés de $z$ en $t$ (coefficients arrondis au millième).
En déduire un ajustement de la forme $c = Ke^{\alpha t}$ .
Estime la concentration au bout de $6$ h et la demi-vie du médicament.

Voir le corrigé

$z \approx 5{,}30$ ; $5{,}01$ ; $4{,}72$ ; $4{,}44$ ; $4{,}14$ : les points sont presque alignés.
$z \approx -0{,}288t + 5{,}298$ ( $r \approx -0{,}9999$ ).
$c = e^{5{,}298}e^{-0{,}288t} \approx 200e^{-0{,}288t}$ .
$c(6) \approx 200e^{-1{,}728} \approx 35{,}5$ µg/L. Demi-vie : $e^{-0{,}288t} = 0{,}5 \iff t = \dfrac{\ln 2}{0{,}288} \approx 2{,}4$ h.

5. Corrélation et causalité

↩ Revoir le cours

Exercice 6 — ⭐⭐

Pour chaque affirmation, dis si la conclusion est justifiée et propose une autre explication.

« Dans les villes, le nombre de pharmacies est fortement corrélé au nombre de naissances : les pharmacies favorisent la natalité. »
« Les élèves qui prennent un petit-déjeuner ont de meilleurs résultats : le petit-déjeuner rend meilleur à l’école. »
« Entre 2000 et 2020, le nombre de téléphones portables et l’espérance de vie ont augmenté ensemble ( $r = 0{,}98$ ). »

Voir le corrigé

Non : facteur commun, la taille de la ville (plus d’habitants, donc plus de pharmacies et plus de naissances).
Pas démontré : le petit-déjeuner peut être lié à d’autres facteurs (sommeil, cadre familial, niveau de vie) qui influencent aussi les résultats. Il faudrait une étude contrôlée.
Les deux grandeurs augmentent avec le temps pour des raisons différentes : la corrélation ne dit rien d’un lien de cause à effet.