Aller au contenu principal
Terminale⏱ 1 heure

Statistique à deux variables : ajustements et corrélation — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

  1. Point moyen de la série (1 ; 4)(1\,;\,4), (3 ; 6)(3\,;\,6), (5 ; 11)(5\,;\,11) ?
  2. La droite des moindres carrés passe-t-elle toujours par le point moyen ?
  3. cov(x,y)=12\text{cov}(x, y) = 12 et V(x)=4V(x) = 4 : coefficient directeur de la droite des moindres carrés ?
  4. Avec xˉ=2\bar x = 2 et yˉ=10\bar y = 10 : ordonnée à l'origine de cette droite ?
  5. r=−0,98r = -0{,}98 : que peut-on dire du nuage ?
  6. ln⁡y=0,5x+2\ln y = 0{,}5x + 2 : exprime yy en fonction de xx.
  7. Une forte corrélation prouve-t-elle une relation de cause à effet ?
  8. Estimer yy pour une valeur de xx hors de la plage des données, c'est… ?
Voir le corrigé
  1. G(3 ; 7)G(3\,;\,7).
  2. Oui.
  3. a=124=3a = \dfrac{12}{4} = 3.
  4. b=10−3×2=4b = 10 - 3 \times 2 = 4.
  5. Les points sont presque alignés sur une droite décroissante.
  6. y=e0,5x+2=e2e0,5xy = e^{0{,}5x + 2} = e^2e^{0{,}5x}.
  7. Non.
  8. Extrapoler.

Exercice 2 (8 points) — Sport et fréquence cardiaque

On mesure la fréquence cardiaque yy (en battements par minute) d'un cycliste en fonction de sa vitesse xx (en km/h).

xix_i15152020252530303535
yiy_i102102118118127127142142156156
  1. Calcule les coordonnées du point moyen GG. (1 point)
  2. Calcule V(x)V(x) et cov(x,y)\text{cov}(x, y). (3 points)
  3. En déduire l'équation de la droite des moindres carrés. (2 points)
  4. Estime la fréquence cardiaque à 2828 km/h, puis à 6060 km/h. Commente la seconde estimation. (2 points)
Voir le corrigé
  1. xˉ=25\bar x = 25, yˉ=6455=129\bar y = \dfrac{645}{5} = 129 : G(25 ; 129)G(25\,;\,129).
  2. Écarts xi−xˉx_i - \bar x : −10-10, −5-5, 00, 55, 1010 ; écarts yi−yˉy_i - \bar y : −27-27, −11-11, −2-2, 1313, 2727. V(x)=2505=50V(x) = \dfrac{250}{5} = 50 ; cov(x,y)=270+55+0+65+2705=6605=132\text{cov}(x, y) = \dfrac{270 + 55 + 0 + 65 + 270}{5} = \dfrac{660}{5} = 132.
  3. a=13250=2,64a = \dfrac{132}{50} = 2{,}64 ; b=129−2,64×25=63b = 129 - 2{,}64 \times 25 = 63 : y=2,64x+63y = 2{,}64x + 63.
  4. À 2828 km/h : y≈136,9y \approx 136{,}9 battements par minute (interpolation). À 6060 km/h : y≈221y \approx 221, estimation peu fiable (extrapolation lointaine, vitesse irréaliste pour ce cycliste, et la fréquence cardiaque a un maximum physiologique).

Exercice 3 (8 points) — Croissance d'une population de bactéries

Temps tt (h)001122334455
Effectif NN (milliers)557,47{,}4111116,316{,}324,224{,}23636
  1. Pourquoi un ajustement affine de NN en tt n'est-il pas adapté ? (1 point)
  2. On pose z=ln⁡Nz = \ln N. Calcule les valeurs de zz (au centième). (2 points)
  3. À la calculatrice, détermine la droite des moindres carrés de zz en tt (coefficients au centième) et le coefficient de corrélation. (2 points)
  4. En déduire une expression de NN en fonction de tt. (1 point)
  5. Estime l'effectif au bout de 77 h et le temps de doublement de la population. (2 points)
Voir le corrigé
  1. Le nuage n'est pas allongé : les écarts entre valeurs successives augmentent (2,42{,}4 ; 3,63{,}6 ; 5,35{,}3…), la croissance semble exponentielle.
  2. z≈1,61z \approx 1{,}61 ; 2,002{,}00 ; 2,402{,}40 ; 2,792{,}79 ; 3,193{,}19 ; 3,583{,}58.
  3. z≈0,39t+1,61z \approx 0{,}39t + 1{,}61, avec r≈1,000r \approx 1{,}000 (au millième).
  4. N=e1,61e0,39t≈5,0e0,39tN = e^{1{,}61}e^{0{,}39t} \approx 5{,}0e^{0{,}39t}.
  5. N(7)≈5,0e2,73≈77N(7) \approx 5{,}0e^{2{,}73} \approx 77 milliers. Doublement : e0,39t=2  ⟺  t=ln⁡20,39≈1,8e^{0{,}39t} = 2 \iff t = \dfrac{\ln 2}{0{,}39} \approx 1{,}8 h.