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Divisibilité, division euclidienne et congruences — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

Reste de la division euclidienne de $-17$ par $5$ ?
$52 \equiv \,?\ [7]$ (plus petit entier naturel) ?
Vrai ou faux : $5 \mid 3n + 2$ pour $n = 6$ ?
Si $a \equiv 3\ [10]$ , que vaut le chiffre des unités de $a$ (pour $a > 0$ ) ?
$2^{10} \equiv \,?\ [3]$ ?
Si $a \equiv 2\ [5]$ et $b \equiv 4\ [5]$ , que vaut $ab$ modulo $5$ ?
Un inverse de $2$ modulo $9$ ?
Quels sont les restes possibles de $n^2$ modulo $4$ ?

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$-17 = 5 \times (-4) + 3$ : reste $3$ .
$52 = 7 \times 7 + 3$ : $52 \equiv 3\ [7]$ .
$3 \times 6 + 2 = 20$ : vrai.
Le chiffre des unités est $3$ .
$2 \equiv -1\ [3]$ , donc $2^{10} \equiv (-1)^{10} = 1\ [3]$ .
$ab \equiv 8 \equiv 3\ [5]$ .
$5$ ( $2 \times 5 = 10 \equiv 1\ [9]$ ).
$0$ et $1$ .

Exercice 2 (4 points) — Divisibilité

Démontre que si $d$ divise $a$ et $b$ , alors $d$ divise $5a - 3b$ . (1 point)
Détermine les entiers relatifs $n$ tels que $n + 3$ divise $2n + 13$ . (3 points)

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$a = kd$ et $b = k'd$ , donc $5a - 3b = (5k - 3k')d$ : $d \mid 5a - 3b$ .
$n + 3$ divise $n + 3$ , donc $2(n + 3) = 2n + 6$ ; s'il divise $2n + 13$ , il divise la différence $7$ . Donc $n + 3 \in \{-7\,;\,-1\,;\,1\,;\,7\}$ , soit $n \in \{-10\,;\,-4\,;\,-2\,;\,4\}$ . Réciproquement, comme $2n + 13 = 2(n + 3) + 7$ et que $n + 3$ divise $7$ , il divise bien $2n + 13$ . Les solutions sont $-10$ , $-4$ , $-2$ et $4$ .

Exercice 3 (5 points) — Restes de puissances

Détermine les restes de $5^n$ modulo $13$ pour $n = 0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ . Que remarques-tu ? (2 points)
En déduire le reste de $5^{2027}$ dans la division par $13$ . (1,5 point)
Montre que pour tout entier naturel $n$ , $5^{4n+2} + 1$ est divisible par $13$ . (1,5 point)

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$5^0 \equiv 1$ , $5^1 \equiv 5$ , $5^2 = 25 \equiv 12$ , $5^3 \equiv 12 \times 5 = 60 \equiv 8$ , $5^4 \equiv 8 \times 5 = 40 \equiv 1\ [13]$ . Les restes sont périodiques de période $4$ car $5^4 \equiv 1\ [13]$ .
$2\,027 = 4 \times 506 + 3$ , donc $5^{2027} = (5^4)^{506} \times 5^3 \equiv 1 \times 8 = 8\ [13]$ . Reste $8$ .
$5^{4n+2} = (5^4)^n \times 5^2 \equiv 12 \equiv -1\ [13]$ , donc $5^{4n+2} + 1 \equiv 0\ [13]$ .

Exercice 4 (4 points) — Congruence et équation

Dresse une table de congruences modulo $11$ de $4x$ et résous $4x \equiv 7\ [11]$ . (2 points)
En déduire les entiers $x$ tels que $4x - 7$ est divisible par $11$ et $0 \leqslant x \leqslant 50$ . (1 point)
Donne un inverse de $4$ modulo $11$ et retrouve le résultat de la question 1 en multipliant par cet inverse. (1 point)

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$x \equiv$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$4x \equiv$ $0$ $4$ $8$ $1$ $5$ $9$ $2$ $6$ $10$ $3$ $7$

$4x \equiv 7\ [11] \iff x \equiv 10\ [11]$ .
$x = 10 + 11k$ avec $0 \leqslant x \leqslant 50$ : $x \in \{10\,;\,21\,;\,32\,;\,43\}$ .
$4 \times 3 = 12 \equiv 1\ [11]$ : $3$ est un inverse de $4$ . En multipliant par $3$ : $12x \equiv 21$ , soit $x \equiv 21 \equiv 10\ [11]$ .

$x \equiv$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$4x \equiv$	$0$	$4$	$8$	$1$	$5$	$9$	$2$	$6$	$10$	$3$	$7$

Exercice 5 (3 points) — Raisonnement

Montre que, pour tout entier $n$ , $n^3 - n$ est divisible par $6$ (on pourra factoriser, puis raisonner modulo $2$ et modulo $3$ ).

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$n^3 - n = n(n - 1)(n + 1)$ .

Modulo $2$ : $n$ ou $n - 1$ est pair, donc le produit est divisible par $2$ .
Modulo $3$ : $n \equiv 0$ , $1$ ou $2\ [3]$ ; si $n \equiv 0$ , $3 \mid n$ ; si $n \equiv 1$ , $3 \mid n - 1$ ; si $n \equiv 2$ , $3 \mid n + 1$ . Le produit est divisible par $3$ .

Il existe donc des entiers $k$ et $k'$ tels que $n^3 - n = 2k = 3k'$ . Alors $3k' = 2k$ est pair, donc $k'$ est pair ( $3k'$ pair et $3$ impair) : $k' = 2m$ et $n^3 - n = 6m$ . Conclusion : $6 \mid n^3 - n$ .