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PGCD, théorèmes de Bézout et de Gauss — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

$\text{PGCD}(48\,;\,36)$ ?
$\text{PGCD}(n\,;\,n + 1)$ pour un entier $n \geqslant 1$ ?
$14$ et $45$ sont-ils premiers entre eux ?
Donne un couple $(u\,;\,v)$ tel que $3u + 5v = 1$ .
L'équation $4x + 10y = 7$ a-t-elle des solutions entières ?
$7 \mid 3n$ : que peut-on dire de $n$ ?
Forme irréductible de $\dfrac{91}{65}$ ?
Un inverse de $5$ modulo $7$ ?

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$12$ .
$1$ .
Oui ( $14 = 2 \times 7$ , $45 = 3^2 \times 5$ : aucun diviseur commun autre que $\pm 1$ ).
Par exemple $(2\,;\,-1)$ : $6 - 5 = 1$ .
Non : $\text{PGCD}(4\,;\,10) = 2$ ne divise pas $7$ .
$7$ est premier avec $3$ : par Gauss, $7 \mid n$ .
$\text{PGCD}(91\,;\,65) = 13$ : $\dfrac{91}{65} = \dfrac75$ .
$3$ ( $5 \times 3 = 15 \equiv 1\ [7]$ ).

Exercice 2 (3 points) — Démonstration de cours

Énonce puis démontre le théorème de Gauss (on pourra utiliser le théorème de Bézout).

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Théorème de Gauss. Si $a$ divise $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$ .

Démonstration. Par le théorème de Bézout, il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$ . En multipliant par $c$ : $acu + bcv = c$ . $a$ divise $acu$ ; $a$ divise $bc$ donc $bcv$ . Donc $a$ divise leur somme, c'est-à-dire $c$ .

Exercice 3 (5 points) — Algorithme d'Euclide

Détermine $\text{PGCD}(299\,;\,221)$ par l'algorithme d'Euclide. (1,5 point)
En remontant les calculs, trouve des entiers $u$ et $v$ tels que $299u + 221v = \text{PGCD}(299\,;\,221)$ . (2 points)
Le rectangle de $299$ cm sur $221$ cm doit être pavé par des carrés identiques, les plus grands possible. Quelle est la taille de ces carrés et combien en faut-il ? (1,5 point)

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$299 = 221 \times 1 + 78$ ; $221 = 78 \times 2 + 65$ ; $78 = 65 \times 1 + 13$ ; $65 = 13 \times 5 + 0$ . $\text{PGCD}(299\,;\,221) = 13$ .
$13 = 78 - 65 = 78 - (221 - 2 \times 78) = 3 \times 78 - 221 = 3(299 - 221) - 221 = 3 \times 299 - 4 \times 221$ . Donc $u = 3$ , $v = -4$ .
Le côté des carrés doit diviser $299$ et $221$ , et être le plus grand possible : c'est le PGCD, $13$ cm. Il en faut $\dfrac{299}{13} \times \dfrac{221}{13} = 23 \times 17 = 391$ carrés.

Exercice 4 (5 points) — Équation diophantienne

On considère l'équation $(E)$ : $11x - 7y = 5$ , d'inconnues entières $x$ et $y$ .

Justifie que $(E)$ admet des solutions. (0,5 point)
Vérifie que $(3\,;\,4)$ est une solution particulière de $(E)$ . (1 point)
Résous $(E)$ . (2,5 points)
Détermine les solutions telles que $0 \leqslant x \leqslant 20$ . (1 point)

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$\text{PGCD}(11\,;\,7) = 1$ divise $5$ .
$11 \times 3 - 7 \times 4 = 33 - 28 = 5$ .
Si $11x - 7y = 5$ , alors $11x - 7y = 11 \times 3 - 7 \times 4$ , donc $11(x - 3) = 7(y - 4)$ . $7$ divise $11(x - 3)$ et est premier avec $11$ : par Gauss, $7 \mid x - 3$ , soit $x = 3 + 7k$ . Alors $11 \times 7k = 7(y - 4)$ , donc $y = 4 + 11k$ . Réciproquement, $11(3 + 7k) - 7(4 + 11k) = 33 - 28 = 5$ . Solutions : $(3 + 7k\,;\,4 + 11k)$ , $k \in \mathbb{Z}$ .
$0 \leqslant 3 + 7k \leqslant 20 \iff k \in \{0\,;\,1\,;\,2\}$ : $(3\,;\,4)$ , $(10\,;\,15)$ , $(17\,;\,26)$ .

Exercice 5 (3 points) — Un PGCD qui dépend de n

Soit $n$ un entier naturel. On pose $a = 4n + 3$ et $b = 3n + 2$ .

Calcule $3a - 4b$ . (1 point)
En déduire que $a$ et $b$ sont premiers entre eux pour tout $n$ . (1 point)
En déduire que la fraction $\dfrac{4n + 3}{3n + 2}$ est irréductible. (1 point)

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$3a - 4b = 12n + 9 - 12n - 8 = 1$ .
C'est une relation de Bézout ( $a \times 3 + b \times (-4) = 1$ ) : $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Le numérateur et le dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun positif que $1$ : la fraction est irréductible.