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Seconde

Vecteurs : somme, produit par un réel, milieu — Exercices d'application

1. Rappels : égalité, somme et relation de Chasles

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Exercice 1 — ⭐

Simplifie en un seul vecteur (ou en 0⃗\vec{0}) :

  1. AB→+BC→+CD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}
  2. MA→−MB→\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}
  3. AC→−BC→+BA→\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}
  4. EF→+GE→−GF→\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{GE} - \overrightarrow{GF}
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  1. Chasles deux fois : AC→+CD→=AD→\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}.
  2. MA→+BM→=BM→+MA→=BA→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BA}.
  3. AC→+CB→+BA→=AB→+BA→=AA→=0⃗\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}.
  4. GE→+EF→+FG→=GF→+FG→=0⃗\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{FG} = \vec{0}.

2. Produit d’un vecteur par un réel

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Exercice 2 — ⭐⭐

  1. Sur un quadrillage, on considère le vecteur u⃗\vec{u} qui correspond au déplacement « 33 carreaux vers la droite et 11 vers le haut ». Décris de la même façon les vecteurs 2u⃗2\vec{u}, −u⃗-\vec{u} et −13u⃗-\dfrac{1}{3}\vec{u}.
  2. Vrai ou faux : « la norme de −2u⃗-2\vec{u} est égale à −2∥u⃗∥-2\|\vec{u}\| » ?
  3. Simplifie : a⃗=3(u⃗+2v⃗)−4v⃗\vec{a} = 3(\vec{u} + 2\vec{v}) - 4\vec{v} ;   b⃗=12(4u⃗−6v⃗)+u⃗\;\vec{b} = \dfrac{1}{2}(4\vec{u} - 6\vec{v}) + \vec{u} ;   c⃗=2AB→+2BC→\;\vec{c} = 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC}.
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  1. 2u⃗2\vec{u} : 66 vers la droite, 22 vers le haut. −u⃗-\vec{u} : 33 vers la gauche, 11 vers le bas. −13u⃗-\dfrac{1}{3}\vec{u} : 11 vers la gauche, 13\dfrac{1}{3} de carreau vers le bas.
  2. Faux : une norme est toujours positive. La norme de −2u⃗-2\vec{u} vaut ∣−2∣×∥u⃗∥=2∥u⃗∥|-2| \times \|\vec{u}\| = 2\|\vec{u}\|.
  3. a⃗=3u⃗+6v⃗−4v⃗=3u⃗+2v⃗\vec{a} = 3\vec{u} + 6\vec{v} - 4\vec{v} = 3\vec{u} + 2\vec{v} ;   b⃗=2u⃗−3v⃗+u⃗=3u⃗−3v⃗\;\vec{b} = 2\vec{u} - 3\vec{v} + \vec{u} = 3\vec{u} - 3\vec{v} ;   c⃗=2(AB→+BC→)=2AC→\;\vec{c} = 2\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right) = 2\overrightarrow{AC}.

3. Vecteurs colinéaires

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Exercice 3 — ⭐⭐

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont deux vecteurs non colinéaires.

  1. On donne AB→=u⃗+3v⃗\overrightarrow{AB} = \vec{u} + 3\vec{v} et AC→=2u⃗+6v⃗\overrightarrow{AC} = 2\vec{u} + 6\vec{v}. Les points AA, BB, CC sont-ils alignés ?
  2. On donne EF→=4u⃗−2v⃗\overrightarrow{EF} = 4\vec{u} - 2\vec{v} et GH→=−6u⃗+3v⃗\overrightarrow{GH} = -6\vec{u} + 3\vec{v}. Que peut-on dire des droites (EF)(EF) et (GH)(GH) ?
  3. On donne PQ→=u⃗+v⃗\overrightarrow{PQ} = \vec{u} + \vec{v} et PR→=u⃗−v⃗\overrightarrow{PR} = \vec{u} - \vec{v}. Les points PP, QQ, RR sont-ils alignés ?
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  1. AC→=2(u⃗+3v⃗)=2AB→\overrightarrow{AC} = 2(\vec{u} + 3\vec{v}) = 2\overrightarrow{AB} : colinéaires, donc AA, BB, CC sont alignés (BB est le milieu de [AC][AC]).
  2. GH→=−32(4u⃗−2v⃗)=−32EF→\overrightarrow{GH} = -\dfrac{3}{2}(4\vec{u} - 2\vec{v}) = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EF} : colinéaires, donc (EF)∥(GH)(EF) \parallel (GH).
  3. S’il existait kk tel que u⃗−v⃗=k(u⃗+v⃗)\vec{u} - \vec{v} = k(\vec{u} + \vec{v}), on aurait (par unicité de l’écriture en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}) 1=k1 = k et −1=k-1 = k : impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc PP, QQ, RR ne sont pas alignés.

4. Caractérisation vectorielle du milieu

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Exercice 4 — ⭐⭐

Soit [AB][AB] un segment, II son milieu et CC un point extérieur à la droite (AB)(AB).

  1. Exprime AI→\overrightarrow{AI} et BI→\overrightarrow{BI} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}.
  2. Simplifie CA→+CB→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}.
  3. Le point KK est défini par AK→=2AB→\overrightarrow{AK} = 2\overrightarrow{AB}. Montre que BB est le milieu de [AK][AK].
  4. Le point JJ vérifie JA→+JB→=AB→\overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JB} = \overrightarrow{AB}. Exprime JI→\overrightarrow{JI} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}, puis place JJ.
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  1. AI→=12AB→\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} et BI→=12BA→=−12AB→\overrightarrow{BI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.
  2. D’après le cours, avec M=CM = C : CA→+CB→=2CI→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{CI}.
  3. AK→=2AB→\overrightarrow{AK} = 2\overrightarrow{AB} équivaut à AB→=12AK→\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AK} : c’est la caractérisation n° 3 du milieu, donc BB est le milieu de [AK][AK].
  4. D’après le cours (avec M=JM = J) : JA→+JB→=2JI→\overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JB} = 2\overrightarrow{JI}. Donc 2JI→=AB→2\overrightarrow{JI} = \overrightarrow{AB}, soit JI→=12AB→\overrightarrow{JI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}. Le point JJ est donc tel que IJ→=−12AB→=IA→\overrightarrow{IJ} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{IA} : J=AJ = A. (Vérification : AA→+AB→=AB→\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}. ✓)

5. Exprimer un vecteur à l’aide de deux vecteurs non colinéaires

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Exercice 5 — ⭐⭐

ABCDABCD est un parallélogramme. On pose u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et v⃗=AD→\vec{v} = \overrightarrow{AD}. Le point EE est le milieu de [CD][CD] et le point FF est défini par BF→=13BC→\overrightarrow{BF} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}.

Exprime en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} : AC→\overrightarrow{AC}, AE→\overrightarrow{AE}, AF→\overrightarrow{AF} et EF→\overrightarrow{EF}.

Voir le corrigé
  • AC→=AB→+BC→=u⃗+v⃗\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{u} + \vec{v}.
  • AE→=AD→+DE→=v⃗+12DC→=12u⃗+v⃗\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \vec{v} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC} = \dfrac{1}{2}\vec{u} + \vec{v} (car DC→=AB→=u⃗\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \vec{u}).
  • AF→=AB→+BF→=u⃗+13v⃗\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \vec{u} + \dfrac{1}{3}\vec{v} (car BC→=v⃗\overrightarrow{BC} = \vec{v}).
  • EF→=EA→+AF→=−12u⃗−v⃗+u⃗+13v⃗=12u⃗−23v⃗\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = -\dfrac{1}{2}\vec{u} - \vec{v} + \vec{u} + \dfrac{1}{3}\vec{v} = \dfrac{1}{2}\vec{u} - \dfrac{2}{3}\vec{v}.

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

ABCDABCD est un parallélogramme ; u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB}, v⃗=AD→\vec{v} = \overrightarrow{AD}. On note KK le milieu de [AD][AD] et LL le point tel que BL→=23BK→\overrightarrow{BL} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BK}.

  1. Exprime BK→\overrightarrow{BK} en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}.
  2. Exprime AL→\overrightarrow{AL} en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}.
  3. Montre que LL appartient à la diagonale [AC][AC], et précise sa position.
  4. Le point L2L_2 est défini par BL2→=13BK→\overrightarrow{BL_2} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BK}. Est-il sur (AC)(AC) ?
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  1. BK→=BA→+AK→=−u⃗+12v⃗\overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AK} = -\vec{u} + \dfrac{1}{2}\vec{v}.
  2. AL→=AB→+BL→=u⃗+23(−u⃗+12v⃗)=13u⃗+13v⃗\overrightarrow{AL} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BL} = \vec{u} + \dfrac{2}{3}\left(-\vec{u} + \dfrac{1}{2}\vec{v}\right) = \dfrac{1}{3}\vec{u} + \dfrac{1}{3}\vec{v}.
  3. AC→=u⃗+v⃗\overrightarrow{AC} = \vec{u} + \vec{v}, donc AL→=13AC→\overrightarrow{AL} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC} : les vecteurs sont colinéaires, AA, LL, CC sont alignés. Comme 0<13<10 < \dfrac{1}{3} < 1, LL est sur le segment [AC][AC], au tiers en partant de AA.
  4. AL2→=u⃗+13(−u⃗+12v⃗)=23u⃗+16v⃗\overrightarrow{AL_2} = \vec{u} + \dfrac{1}{3}\left(-\vec{u} + \dfrac{1}{2}\vec{v}\right) = \dfrac{2}{3}\vec{u} + \dfrac{1}{6}\vec{v}. Pour être colinéaire à u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}, il faudrait le même coefficient devant u⃗\vec{u} et devant v⃗\vec{v} (unicité de l’écriture) ; or 23≠16\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{1}{6}. Donc L2L_2 n’est pas sur (AC)(AC) : le calcul vectoriel permet de trancher là où une figure imprécise pourrait tromper.

Exercice 7 — ⭐⭐⭐⭐

Pour aller plus loin : le centre de gravité d’un triangle.

Soit ABCABC un triangle et A′A' le milieu de [BC][BC]. On admet qu’il existe un unique point GG tel que GA→+GB→+GC→=0⃗\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}.

  1. Montre que GB→+GC→=2GA′→\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GA'}.
  2. En déduire que GA→=−2GA′→\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GA'}, puis que AG→=23AA′→\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}.
  3. Que peut-on dire de GG par rapport à la médiane issue de AA ? Et par rapport aux deux autres médianes ?
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  1. A′A' est le milieu de [BC][BC] : d’après le cours (avec M=GM = G), GB→+GC→=2GA′→\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GA'}.
  2. GA→+2GA′→=0⃗\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GA'} = \vec{0}, donc GA→=−2GA′→\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GA'}. Ensuite AA′→=AG→+GA′→=AG→+12AG→=32AG→\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GA'} = \overrightarrow{AG} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AG} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG} (car GA′→=−12GA→=12AG→\overrightarrow{GA'} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GA} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AG}). Donc AG→=23AA′→\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}.
  3. GG est sur la médiane [AA′][AA'], aux deux tiers en partant de AA. Le même raisonnement avec les milieux de [AC][AC] et de [AB][AB] montre que GG est aussi sur les deux autres médianes : les trois médianes d’un triangle sont concourantes en GG, le centre de gravité.