Vecteurs : somme, produit par un réel, milieu

Ce que tu sais déjà. En 3e, tu as défini un vecteur à partir d’une translation, les vecteurs égaux, le vecteur nul, l’opposé, la somme de deux vecteurs et la relation de Chasles (3e — Translations et vecteurs). La section 1 rappelle l’essentiel. La nouveauté de la Seconde, c’est de multiplier un vecteur par un nombre : on peut alors calculer avec les vecteurs comme avec des nombres, et démontrer des propriétés géométriques par le calcul.

1. Rappels : égalité, somme et relation de Chasles

Rappels.

• Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est défini par une direction (celle de la droite $(AB)$), un sens (de $A$ vers $B$) et une longueur (appelée norme, notée $\|\overrightarrow{AB}\| = AB$). On le note aussi avec une seule lettre : $\vec{u}$.
• $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \iff ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
• Le vecteur nul $\vec{0} = \overrightarrow{AA}$ ; l’opposé de $\overrightarrow{AB}$ est $-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$.
• Relation de Chasles : pour tous points $A$, $B$, $C$, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.

Différence. On définit $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$. Par exemple $\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BA}$.

Exemple. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CC} = \vec{0}$.

Remarque (décomposer). Chasles s’utilise aussi « à l’envers », pour faire apparaître un point choisi : pour tout point $O$, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Produit d’un vecteur par un réel

Définition. Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul et $k$ un réel non nul. Le vecteur $k\vec{u}$ est le vecteur qui a :

• la même direction que $\vec{u}$ ;
• le même sens que $\vec{u}$ si $k > 0$, le sens contraire si $k < 0$ ;
• une norme égale à $|k| \times \|\vec{u}\|$.

Par convention, $0 \times \vec{u} = \vec{0}$ et $k \times \vec{0} = \vec{0}$.

Propriétés (règles de calcul). Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et tous réels $k$, $k'$ :

$$k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v} \qquad (k + k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u} \qquad k(k'\vec{u}) = (kk')\vec{u}$$

$$k\vec{u} = \vec{0} \iff k = 0 \text{ ou } \vec{u} = \vec{0}$$

On calcule donc avec les vecteurs comme en calcul littéral.

Exemple. $2(\vec{u} - 3\vec{v}) + 5\vec{v} = 2\vec{u} - 6\vec{v} + 5\vec{v} = 2\vec{u} - \vec{v}$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Vecteurs colinéaires

Définition. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si l’un est le produit de l’autre par un réel : il existe $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou $\vec{u} = k\vec{v}$). Autrement dit, ils ont la même direction (ou l’un d’eux est nul).

Propriétés.

• Alignement : trois points $A$, $B$, $C$ distincts sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
• Parallélisme : les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Exemple. On suppose que $\overrightarrow{AB} = 2\vec{u} - \vec{v}$ et $\overrightarrow{AC} = -4\vec{u} + 2\vec{v}$. Alors $\overrightarrow{AC} = -2(2\vec{u} - \vec{v}) = -2\,\overrightarrow{AB}$ : les vecteurs sont colinéaires, donc $A$, $B$ et $C$ sont alignés ($A$ est même entre $B$ et $C$, car le coefficient est négatif).

Dans le chapitre suivant, on disposera d’un critère de calcul très rapide (le déterminant) pour savoir si deux vecteurs donnés par leurs coordonnées sont colinéaires.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Caractérisation vectorielle du milieu

Propriété. Soit $A$ et $B$ deux points et $I$ un point. Les affirmations suivantes sont équivalentes :

1. $I$ est le milieu du segment $[AB]$ ;
2. $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$ ;
3. $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ ;
4. $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.

Propriété. Si $I$ est le milieu de $[AB]$, alors pour tout point $M$ du plan : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}$.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Exprimer un vecteur à l’aide de deux vecteurs non colinéaires

Propriété (admise). Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. Tout vecteur $\vec{w}$ du plan peut s’écrire, de façon unique, sous la forme $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$, avec $a$ et $b$ réels.

Cette propriété permet de ramener un problème de géométrie à du calcul : on exprime tous les vecteurs utiles en fonction de deux vecteurs de référence, puis on compare les expressions.

Exemple. $ABCD$ est un parallélogramme ; on pose $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AD}$ (non colinéaires car $A$, $B$, $D$ ne sont pas alignés).

• $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{u} + \vec{v}$ (car $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$).
• $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\vec{u} + \vec{v}$.
• Si $M$ est le milieu de $[BC]$ : $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \vec{u} + \dfrac{1}{2}\vec{v}$.

Exemple. Dans le parallélogramme $ABCD$ ci-dessus, $I$ est le milieu de $[AB]$ et $E$ le point tel que $\overrightarrow{DE} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{DI}$. Montrons que $A$, $E$, $C$ sont alignés. $\overrightarrow{DI} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AI} = -\vec{v} + \dfrac{1}{2}\vec{u}$, donc $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \vec{v} + \dfrac{2}{3}\left(-\vec{v} + \dfrac{1}{2}\vec{u}\right) = \dfrac{1}{3}\vec{u} + \dfrac{1}{3}\vec{v} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Les vecteurs $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires : $A$, $E$, $C$ sont alignés (et $E$ est au tiers de $[AC]$ en partant de $A$).

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6 · Exercice 7