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Seconde⏱ 50 minutes

Vecteurs : somme, produit par un réel, milieu — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Calculs avec des vecteurs

  1. Simplifie : BC→+AB→+CD→\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} ;   MN→−PN→\;\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{PN}. (2 points)
  2. Simplifie : w⃗=2(3u⃗−v⃗)−3(u⃗−2v⃗)\vec{w} = 2(3\vec{u} - \vec{v}) - 3(\vec{u} - 2\vec{v}). (2 points)
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  1. On réordonne : AB→+BC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}.   MN→−PN→=MN→+NP→=MP→\;\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}.
  2. w⃗=6u⃗−2v⃗−3u⃗+6v⃗=3u⃗+4v⃗\vec{w} = 6\vec{u} - 2\vec{v} - 3\vec{u} + 6\vec{v} = 3\vec{u} + 4\vec{v}.

Exercice 2 (4 points) — Le milieu

Soit II le milieu d'un segment [AB][AB].

  1. Complète : IA→+IB→=…\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \ldots et AB→=…AI→\overrightarrow{AB} = \ldots\overrightarrow{AI}. (1 point)
  2. Démontre que, pour tout point MM, MA→+MB→=2MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}. (2 points)
  3. OO est un point quelconque. Exprime OI→\overrightarrow{OI} en fonction de OA→\overrightarrow{OA} et OB→\overrightarrow{OB}. (1 point)
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  1. IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} et AB→=2AI→\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}.
  2. Avec Chasles en passant par II : MA→+MB→=MI→+IA→+MI→+IB→=2MI→+(IA→+IB→)=2MI→+0⃗=2MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} = 2\overrightarrow{MI} + \left(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}\right) = 2\overrightarrow{MI} + \vec{0} = 2\overrightarrow{MI}.
  3. Avec M=OM = O : OA→+OB→=2OI→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OI}, donc OI→=12(OA→+OB→)\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right).

Exercice 3 (4 points) — Colinéarité

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont deux vecteurs non colinéaires.

  1. On donne AB→=3u⃗−2v⃗\overrightarrow{AB} = 3\vec{u} - 2\vec{v} et AC→=−32u⃗+v⃗\overrightarrow{AC} = -\dfrac{3}{2}\vec{u} + \vec{v}. Les points AA, BB, CC sont-ils alignés ? (2 points)
  2. On donne EF→=u⃗+2v⃗\overrightarrow{EF} = \vec{u} + 2\vec{v} et GH→=2u⃗+v⃗\overrightarrow{GH} = 2\vec{u} + \vec{v}. Les droites (EF)(EF) et (GH)(GH) sont-elles parallèles ? (2 points)
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  1. −12AB→=−32u⃗+v⃗=AC→-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = -\dfrac{3}{2}\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AC}. Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires : AA, BB, CC sont alignés.
  2. S'il existait kk tel que 2u⃗+v⃗=k(u⃗+2v⃗)2\vec{u} + \vec{v} = k(\vec{u} + 2\vec{v}), l'unicité de l'écriture donnerait k=2k = 2 et 2k=12k = 1, soit k=12k = \dfrac{1}{2} : contradiction. Les vecteurs ne sont pas colinéaires : les droites ne sont pas parallèles.

Exercice 4 (4 points) — Dans un parallélogramme

ABCDABCD est un parallélogramme ; u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et v⃗=AD→\vec{v} = \overrightarrow{AD}. Le point EE est le milieu de [BC][BC].

  1. Exprime AC→\overrightarrow{AC}, BD→\overrightarrow{BD} et AE→\overrightarrow{AE} en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}. (2 points)
  2. Exprime DE→\overrightarrow{DE} en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}. (2 points)
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  1. AC→=AB→+BC→=u⃗+v⃗\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{u} + \vec{v} ;   BD→=BA→+AD→=−u⃗+v⃗\;\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\vec{u} + \vec{v} ;   AE→=AB→+BE→=u⃗+12v⃗\;\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \vec{u} + \dfrac{1}{2}\vec{v} (car BC→=v⃗\overrightarrow{BC} = \vec{v}).
  2. DE→=DA→+AE→=−v⃗+u⃗+12v⃗=u⃗−12v⃗\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AE} = -\vec{v} + \vec{u} + \dfrac{1}{2}\vec{v} = \vec{u} - \dfrac{1}{2}\vec{v}.

Exercice 5 (4 points) — Un alignement

On reprend la figure de l'exercice 4. Le point FF est défini par AF→=23AE→\overrightarrow{AF} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AE}.

  1. Exprime AF→\overrightarrow{AF} puis BF→\overrightarrow{BF} en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}. (2 points)
  2. En déduire que FF appartient à la diagonale [BD][BD], et précise sa position. (2 points)
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  1. AF→=23(u⃗+12v⃗)=23u⃗+13v⃗\overrightarrow{AF} = \dfrac{2}{3}\left(\vec{u} + \dfrac{1}{2}\vec{v}\right) = \dfrac{2}{3}\vec{u} + \dfrac{1}{3}\vec{v}, puis BF→=BA→+AF→=−u⃗+23u⃗+13v⃗=−13u⃗+13v⃗\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} = -\vec{u} + \dfrac{2}{3}\vec{u} + \dfrac{1}{3}\vec{v} = -\dfrac{1}{3}\vec{u} + \dfrac{1}{3}\vec{v}.
  2. BF→=13(−u⃗+v⃗)=13BD→\overrightarrow{BF} = \dfrac{1}{3}(-\vec{u} + \vec{v}) = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BD} : les vecteurs sont colinéaires, donc BB, FF, DD sont alignés ; comme 0<13<10 < \dfrac{1}{3} < 1, FF est sur le segment [BD][BD], au tiers en partant de BB.