Vecteurs et coordonnées : distance, milieu, colinéarité — Exercices d'application

Dans tous les exercices, le plan est muni d’un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.

1. Coordonnées d’un vecteur

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Exercice 1 — ⭐

On donne $A(-2\,;\,3)$, $B(4\,;\,-1)$ et $C(1\,;\,5)$.

1. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{BA}$.
2. Détermine les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
3. Détermine les coordonnées du point $E$ tel que $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB}$.

2. Calculer avec les coordonnées

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Exercice 2 — ⭐

On donne $\vec{u}(3\,;\,-2)$ et $\vec{v}(-1\,;\,4)$. Calcule les coordonnées de :

$$\vec{u} + \vec{v} \qquad 2\vec{u} - 3\vec{v} \qquad -\frac{1}{2}\vec{u} \qquad \vec{w} \text{ tel que } \vec{u} + \vec{w} = \vec{0}$$

3. Coordonnées du milieu d’un segment

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Exercice 3 — ⭐⭐

1. Calcule les coordonnées du milieu de $[AB]$, avec $A(-3\,;\,5)$ et $B(7\,;\,-1)$.
2. $I(4\,;\,-1)$ est le milieu de $[AB]$, avec $A(1\,;\,2)$. Calcule les coordonnées de $B$.
3. On donne $P(-1\,;\,2)$, $Q(3\,;\,4)$, $R(4\,;\,1)$ et $S(0\,;\,-1)$. En utilisant les milieux des diagonales, montre que $PQRS$ est un parallélogramme.

4. Norme d’un vecteur et distance entre deux points

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Exercice 4 — ⭐⭐

1. Calcule la norme de $\vec{u}(-5\,;\,12)$ et la distance entre $A(2\,;\,-1)$ et $B(-4\,;\,3)$ (valeur exacte simplifiée).
2. On reprend le parallélogramme $PQRS$ de l’exercice 3. Calcule $PQ$, $QR$, $PR$ et $QS$. $PQRS$ est-il un rectangle ? un losange ?
3. On donne $K(1\,;\,1)$, $L(4\,;\,2)$, $M(2\,;\,4)$. Quelle est la nature du triangle $KLM$ ?

5. Déterminant et colinéarité

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Exercice 5 — ⭐⭐

1. Les vecteurs $\vec{u}(4\,;\,-6)$ et $\vec{v}(-6\,;\,9)$ sont-ils colinéaires ? Et $\vec{u}$ et $\vec{w}(2\,;\,3)$ ?
2. Détermine le réel $m$ pour que $\vec{a}(m\,;\,3)$ et $\vec{b}(4\,;\,6)$ soient colinéaires.
3. Les points $A(1\,;\,1)$, $B(3\,;\,2)$ et $C(8\,;\,4)$ sont-ils alignés ?
4. Les droites $(EF)$ et $(GH)$, avec $E(0\,;\,2)$, $F(3\,;\,3)$, $G(-1\,;\,-2)$, $H(5\,;\,0)$, sont-elles parallèles ?

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

On considère $A(-2\,;\,1)$, $B(4\,;\,3)$ et $C(1\,;\,-2)$.

1. Détermine les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ et du milieu $J$ de $[AC]$.
2. Démontre que les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles, et compare les longueurs $IJ$ et $BC$. Quel théorème du collège retrouve-t-on ?
3. Détermine les coordonnées du point $G$ tel que $\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}$, où $A'$ est le milieu de $[BC]$. Vérifie que $G$ a pour coordonnées les moyennes des coordonnées de $A$, $B$ et $C$.

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Voici trois fonctions Python :

from math import sqrt

def distance(xA, yA, xB, yB):
    return sqrt((xB - xA) ** 2 + (yB - yA) ** 2)

def determinant(x, y, x2, y2):
    return x * y2 - y * x2

def alignes(xA, yA, xB, yB, xC, yC):
    return determinant(xB - xA, yB - yA, xC - xA, yC - yA) == 0

1. Que renvoient distance(1, 2, 5, 5) et alignes(1, 1, 3, 2, 7, 4) ?
2. Les points $O(0\,;\,0)$, $P(0{,}1\,;\,0{,}3)$ et $Q(0{,}7\,;\,2{,}1)$ sont-ils alignés ? Justifie par un calcul exact.
3. Pourtant, alignes(0, 0, 0.1, 0.3, 0.7, 2.1) renvoie False, car determinant(0.1, 0.3, 0.7, 2.1) vaut environ $2{,}8 \times 10^{-17}$. Explique ce qui se passe.

Exercice 8 — ⭐⭐⭐

On donne $\vec{u}(1\,;\,2)$ et $\vec{v}(3\,;\,-1)$.

1. Justifie que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
2. On cherche les réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w}(7\,;\,0) = a\vec{u} + b\vec{v}$. Traduis cette égalité par deux égalités entre nombres, puis trouve $a$ et $b$.