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Vecteurs et coordonnées : distance, milieu, colinéarité — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet. Le plan est muni d'un repère orthonormé.

On donne $A(2\,;\,-1)$ et $B(-4\,;\,3)$ .

Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ . (1 point)
Calcule les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ . (1 point)
Calcule la distance $AB$ ; donne la valeur exacte sous la forme $a\sqrt{b}$ . (2 points)

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Soit $\vec{u}(x\,;\,y)$ et $\vec{v}(x'\,;\,y')$ deux vecteurs, avec $\vec{u}$ non nul.

Démontre que si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, alors $xy' - x'y = 0$ . (2 points)
On suppose $x \neq 0$ et $xy' - x'y = 0$ . Démontre que $\vec{v} = \dfrac{x'}{x}\vec{u}$ . (2 points)

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Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, avec $\vec{u}$ non nul, il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ , c'est-à-dire $x' = kx$ et $y' = ky$ . Alors $xy' - x'y = x(ky) - (kx)y = kxy - kxy = 0$ .
Posons $k = \dfrac{x'}{x}$ (possible car $x \neq 0$ ). Alors $x' = kx$ . De plus, $xy' = x'y = kxy$ ; en divisant par $x \neq 0$ : $y' = ky$ . Donc $\vec{v}(x'\,;\,y') = (kx\,;\,ky) = k\vec{u}$ , soit $\vec{v} = \dfrac{x'}{x}\vec{u}$ .

Les points $A(-1\,;\,-2)$ , $B(1\,;\,2)$ et $C(4\,;\,8)$ sont-ils alignés ? (2 points)
On donne $E(1\,;\,0)$ , $F(3\,;\,5)$ , $G(-2\,;\,1)$ , $H(2\,;\,11)$ . Les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont-elles parallèles ? (2 points)

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$\overrightarrow{AB}(2\,;\,4)$ et $\overrightarrow{AC}(5\,;\,10)$ : $\det = 2 \times 10 - 5 \times 4 = 0$ . Les vecteurs sont colinéaires : $A$ , $B$ , $C$ sont alignés.
$\overrightarrow{EF}(2\,;\,5)$ et $\overrightarrow{GH}(4\,;\,10)$ : $\det = 2 \times 10 - 4 \times 5 = 0$ . Les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont parallèles.

On donne $A(-1\,;\,1)$ , $B(3\,;\,-1)$ et $C(1\,;\,3)$ .

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$AB^2 = 4^2 + (-2)^2 = 20$ ; $AC^2 = 2^2 + 2^2 = 8$ ; $BC^2 = (-2)^2 + 4^2 = 20$ .
$AB = BC$ : le triangle est isocèle en $B$ . Le plus grand carré vaut $20$ , et $8 + 20 = 28 \neq 20$ : d'après le théorème de Pythagore (sa contraposée), le triangle n'est pas rectangle.

On donne $K(-2\,;\,0)$ , $L(1\,;\,2)$ et $M(4\,;\,-1)$ .

Calcule les coordonnées du point $N$ tel que $KLMN$ soit un parallélogramme. (2 points)
Calcule les coordonnées du centre $\Omega$ de ce parallélogramme. (1 point)
Vérifie que $\Omega$ est aussi le milieu de $[LN]$ . (1 point)

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$KLMN$ parallélogramme $\iff \overrightarrow{KL} = \overrightarrow{NM}$ . $\overrightarrow{KL}(3\,;\,2)$ et $\overrightarrow{NM}(4 - x_N\,;\,-1 - y_N)$ : $x_N = 1$ et $y_N = -3$ . Donc $N(1\,;\,-3)$ .
Le centre est le milieu de la diagonale $[KM]$ : $\Omega\left(\dfrac{-2 + 4}{2}\,;\,\dfrac{0 - 1}{2}\right) = \left(1\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)$ .
Milieu de $[LN]$ : $\left(\dfrac{1 + 1}{2}\,;\,\dfrac{2 - 3}{2}\right) = \left(1\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)$ : c'est bien $\Omega$ . ✓