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Vecteurs et coordonnées : distance, milieu, colinéarité

Ce que tu vas apprendre

Lire et calculer les coordonnées d'un vecteur, dont celles de AB
Calculer les coordonnées d'une somme et du produit d'un vecteur par un réel
Calculer les coordonnées du milieu d'un segment
Calculer la norme d'un vecteur et la distance entre deux points dans un repère orthonormé
Calculer un déterminant et démontrer le critère de colinéarité
Démontrer un alignement, un parallélisme ou la nature d'une figure avec les coordonnées

Notions clésbase orthonormée, repère orthonormécoordonnées d'un vecteurcoordonnées du milieunorme, distancedéterminantcolinéarité, alignement, parallélisme

Ce que tu sais déjà. Le repérage dans le plan (4e — Repérage), le théorème de Pythagore (4e — Pythagore) et, au chapitre précédent, le calcul vectoriel : produit par un réel, colinéarité et décomposition selon deux vecteurs non colinéaires (Seconde — Vecteurs). Ici, on choisit deux vecteurs de référence particuliers : tout devient alors un calcul sur des nombres.

1. Coordonnées d’un vecteur

Définitions. Deux vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ forment une base orthonormée s’ils ont des directions perpendiculaires et une norme égale à $1$ . Avec un point $O$ , ils forment un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ .

D’après le chapitre précédent, tout vecteur $\vec{u}$ s’écrit de façon unique $\vec{u} = x\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath}$ : les réels $x$ et $y$ sont les coordonnées de $\vec{u}$ . On note $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ou $\vec{u}(x\,;\,y)$ .

Propriété. Si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ , alors $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ .

Pour aller de A à B, on se déplace de 5 unités horizontalement et de 3 verticalement : AB a pour coordonnées (5 ; 3), c'est-à-dire AB = 5i + 3j.

Propriété. Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées.

Exemple (quatrième sommet d’un parallélogramme). $A(1\,;\,2)$ , $B(4\,;\,3)$ , $C(5\,;\,-1)$ . On cherche $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme, c’est-à-dire $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ . $\overrightarrow{AB}(3\,;\,1)$ et $\overrightarrow{DC}(5 - x_D\,;\,-1 - y_D)$ . Donc $5 - x_D = 3$ et $-1 - y_D = 1$ : $D(2\,;\,-2)$ .

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Calculer avec les coordonnées

Propriétés. Si $\vec{u}(x\,;\,y)$ et $\vec{v}(x'\,;\,y')$ , et $k$ est un réel :

$\vec{u} + \vec{v}\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix} \qquad\qquad k\vec{u}\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$

Exemple. $\vec{u}(3\,;\,-2)$ et $\vec{v}(-1\,;\,4)$ : $2\vec{u} - 3\vec{v}$ a pour coordonnées $(2 \times 3 - 3 \times (-1)\,;\,2 \times (-2) - 3 \times 4) = (9\,;\,-16)$ .

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Coordonnées du milieu d’un segment

Propriété. Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées

$I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\frac{y_A + y_B}{2}\right).$

🧠 Démonstration — à partir de la caractérisation vectorielle du milieu

Au chapitre précédent, on a vu que si $I$ est le milieu de $[AB]$ , alors pour tout point $M$ , $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$ . Avec $M = O$ , l’origine du repère : $\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right)$ . Les coordonnées de $\overrightarrow{OA}$ sont celles de $A$ (de même pour $B$ et $I$ ), d’où la formule.

Exemple. Le milieu de $[AB]$ avec $A(-3\,;\,5)$ et $B(7\,;\,-1)$ est $I\left(\dfrac{-3 + 7}{2}\,;\,\dfrac{5 - 1}{2}\right) = I(2\,;\,2)$ .

Application. Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu : on peut le vérifier par le calcul.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Norme d’un vecteur et distance entre deux points

Propriétés. Dans un repère orthonormé :

la norme de $\vec{u}(x\,;\,y)$ est $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ ;
la distance entre $A$ et $B$ est $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ .

Ces formules viennent du théorème de Pythagore, appliqué au triangle rectangle formé par le déplacement horizontal et le déplacement vertical.

AB est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 4 et 3 : AB² = 4² + 3² = 25, donc AB = 5. Le milieu I a pour coordonnées les moyennes des coordonnées de A et B.

Attention. Ces formules ne sont valables que si le repère est orthonormé (axes perpendiculaires et même unité sur les deux axes).

📋 Méthode — Déterminer la nature d'un triangle

Calculer les carrés des trois longueurs (on évite ainsi les racines).
Deux longueurs égales : le triangle est isocèle ; trois : équilatéral.
Si le plus grand carré est égal à la somme des deux autres, le triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore) ; sinon, il ne l’est pas.

Exemple. $A(1\,;\,2)$ , $B(5\,;\,5)$ , $C(-2\,;\,6)$ : $AB^2 = 4^2 + 3^2 = 25$ , $AC^2 = (-3)^2 + 4^2 = 25$ , $BC^2 = (-7)^2 + 1^2 = 50$ . Donc $AB = AC$ (isocèle en $A$ ) et $AB^2 + AC^2 = 50 = BC^2$ (rectangle en $A$ ) : $ABC$ est isocèle rectangle en $A$ .

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Déterminant et colinéarité

Définition. Le déterminant des vecteurs $\vec{u}(x\,;\,y)$ et $\vec{v}(x'\,;\,y')$ est le nombre $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$ .

Propriété. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$ . Lorsque les coordonnées sont non nulles, cela revient à dire que les coordonnées sont proportionnelles : $\dfrac{x'}{x} = \dfrac{y'}{y}$ .

🧠 Démonstration (exigible au programme) — Colinéarité et déterminant nul

On suppose $\vec{u}(x\,;\,y)$ non nul (si $\vec{u} = \vec{0}$ , les deux vecteurs sont colinéaires et le déterminant vaut $0$ ).

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, il existe $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ , soit $x' = kx$ et $y' = ky$ . Alors $\det(\vec{u}, \vec{v}) = x(ky) - (kx)y = 0$ .
Réciproquement, si $xy' - x'y = 0$ :
- cas $x \neq 0$ : posons $k = \dfrac{x'}{x}$ . Alors $x' = kx$ et, comme $xy' = x'y = kxy$ , en divisant par $x$ : $y' = ky$ . Donc $\vec{v} = k\vec{u}$ .
- cas $x = 0$ : alors $y \neq 0$ (car $\vec{u} \neq \vec{0}$ ), et $xy' - x'y = -x'y = 0$ donne $x' = 0$ . Avec $k = \dfrac{y'}{y}$ , on a $\vec{v}(0\,;\,y') = k\vec{u}$ .

Dans tous les cas, $\vec{v}$ est colinéaire à $\vec{u}$ .

v = 3u : même direction, déterminant nul. w n'a pas la même direction que u : le déterminant vaut 5, il n'est pas nul.

Exemple (alignement). $A(1\,;\,1)$ , $B(3\,;\,2)$ , $C(7\,;\,4)$ : $\overrightarrow{AB}(2\,;\,1)$ et $\overrightarrow{AC}(6\,;\,3)$ . $\det = 2 \times 3 - 6 \times 1 = 0$ : les vecteurs sont colinéaires, donc $A$ , $B$ , $C$ sont alignés.

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6 · Exercice 7 · Exercice 8